где = Тз(Т~Тз)-1Т~- матрица {КхК) проектирования на

одномерные подпространства, коллинеарные базисным векторам Т, Учитывая, 4fo

1 = М + 1

получим (,

W = Pk-mVo+ 2]{lAm)C„Vo = Wi + WAi (2 76)

Несмотря на простоту и наглядность полученных разложений, их практическое построение связано с весьма сложной задачей определения собственных значений и собственных векторов Впт

Покажем, что аналогичные разложения весового вектора можно получить более простым в вычислительном смысле путем, если воспользоваться методами сопряженных направлений для решения систем линейных уравнений [30] Основой методов является построение системы базисных векторов, ортогональных в метрике, связанной с матрицей системы уравнений-Так, например, векторы, ортогональные в метрике Вдш, параллельны сопряженным диаметрам эллипсоида

ХВпшХ = const

Рассмотрим общую схему метода на примере системы уравнений

B„mW = Vo

Предположим пока, что все (Собственные значения Вщ, различны Тогда система векторов

Vo, BnmVo, BnmVo, . , Вдш Vo

будет линейно независимой, и ее можно использовать для построения базисных векторов, ортогональных в метрике, заданной матрицей Впш Пусть такой базис построен и векторы Pf, Fl, . удовлетворяют соотношениям

РГВ„шР/ = 0 при 1} (2 77)

Тогда весовой вектор W из (2 50) всегда может быть представлен в виде

Подставляя (2 78) в (2 50) и учитывая соотношения ортогональности, для определения коэффициентов а, получим формулу

Таким образом, решение уравнения (2 50) в базисе {F} принимает вид

к-1 ]

=0 Тпшг

C.V„, (2 80)

где == Fi(F~F,)~F~-матрица (КХК) проектирования на

одномерное подпространство, коллинеарное вектору F,

Выражение (2 80) показывает, что оптимальный весовой вектор в базисе векторов сопряженных направлений представляется взвешенной суммой проекций решения на одномерные подпространства

Большим преимуществом методов сопряженных направлений по сравнению с другими способами ортогонализации векторов является простота вычислительных процедур, поскольку система сопряженных векторов строится по трехчленным рекуррентным соотношениям

Fo = Vo, F. = BnFo-fe-YoFo, F, + , = BnmF, -Y.F-6,F,i. (2 81)

Рассмотрим теперь особенности, возникающие при построении базиса, когда матрица Вщп имеет кратные собственные значения Эта ситуация наиболее характерна для задач радиолокационного наблюдения, когда число мешающих источников М<С/С Учитывая структуру ковариационной матрицы (2 55), можно ожидать, что на некоторой i-й итерации вектор Fi ока-жетеа ортогональным к ЛГ-мерному подпространству мешающих-сигналов, т е выполнится условие

ФмР, = О

Тогда из (2 81) последует

Ff +, = (/j? Фм diag а1,Фм) Fj - y,F, - 6.F, , = -6,F, „,.

что приведет к обрыву процесса построения базиса

Процедуру можно возобновить, если начать новые итерации с другим начальным вектором VJV который следует выбрать

ортогональным к подпространству уже построенных векторов Го, Fj, , F», а именно

где Y -произвольный вектор полного пространства, P.+i - проектор на подпространство размерности i+l

Более простой путь состоит в том, чтобы вместо полного решения уравнения (2 50) вычислить проекцию решения в М-мерном подпространстве, основываясь на разложении весового вектора, приведенном в § 2 6 Из соотношения (2 606) следует, что цроекИия решения определяется из уравнения

ВмУмом. (2 82)

где Вж РмВдшпроекция матрицы, Уом = Рмо, Wm = = PvfW -проекции векторов правой части и решения на М-мерное подпространство >,

Покажем, что при этом размерность решаемой задачи равна М, а не К, что существенно упрощает вычисления

Соотношение (2 606) эквивалентно уравнению

,{ФмФм)~ + diag al] OW = {ФмФмТ ФмУо Умножая слева на (Ф~Фм)=70, получим

[1м + (ФФм) diag ат] Ф = Ф:;У„, (2 83)

где и Ф~Уо - векторы размерности Mxl, а матрица

в квадратных скобках имеет размер МХМ

Очевидно, что решение уравнения (2 82) или эквивалентного ему (2 83) реализуется приведенными в (2 81) рекуррентными соотношениями, поэтому имеет место разложение вектора Wj»f из (2 82), аналогичное (2 80), а именно м-\ M-i

Wai = Z = Т. Wm» (2 84)

1=0 "TV ,=0

. = (РГФм diag a>;F.) F.I D flLlPteflVf

ет = 1

- отношение помеха/шум в канале с весовым вектором Wmi, Rim - коэффициент пространственной корреляции г-го базисного вектора с вектором волнового фронта т-го мешающего сигнала

Аналогичное разложение проекции оптимального весового вектора можно получить а методе сопряженных градиентов, который отличается от рассмотренного метода Л-минимальных итераций тем, чтопоследовательность базисных векторов

5* 67