М-мерного подпространства» поэтому в алгоритм формирования вектора Wi, следует на каждом шаге включать процедуру принятия рехения о величине М

Заметим, что из (2 90) можно получить ряд полезных соотношений Для этого проектор Рк-м представим в виде

ЛГ-1 (=0

где {rj --взаимно ортогональная система векторов-невязок. Используя полученное представление в (2 90), найдем

М г

Vo - (2 91)

Различные варианты разложения (2 91) можно получить при использовании соотношений (2 86) между и из которых, в частности, устанавливается связь с одним из вариантов методов сопряженных направлений - алгоритмом Давидона- Флетчера-Пауэла [41]

§ 28 СВЯЗЬ МЕТОДА ПАРЦИАЛЬНЫХ ДИАГРАММ С РАЗЛОЖЕНИЕМ ВЕСОВОГО ВЕКТОРА ПРОСТРАНСТВЕННОЙ ОБРАБОТКИ

С весовым вектором пространственной обработки связана адаптивная диаграмма направленности канала обнаружения к{и.), которая, как показано н § 2 4, 2 5, удовлетворяет критерию максимума КНД в ожидаемом направлении Ыо и критерию МСКО в задаче аппроксимации идеальной нереализуемой диаграммы направленности / (ы) (см. формулы (2 45) и (2 46)). Разложения весового вектора в сумму проекций, полученные в § 2 7, позволяют рассматривать слагаемые суммы как амплитудно-фазовые распределения в парциальных каналах АР Тогда адаптивная диаграмма канала обнаружения может быть представлена в виде суммы парциальных диаграмм Такое представление оказывается весьма полезным как при моделировании и анализе эффективности алгоритмов адаптации, так и при экспериментальной проверке АР, поскольку парциальные диаграммы могут быть измерены довольно точно по крайней мере в области главных лепестков

Метод парциальных диаграмм имеет непосредственную связь с решением уравнения (2 50) относительно весового вектора путем преобразования базиса представления входных сигналов При этом ковариационная матрица Вдш рассматри-вается как матрица квадратичной формы входных сигналов Вша~{ХХ~}, а упрощение решения уравнения достигается за сч:ет перехода к новому базису представления сигналов,

в котором ковариационная матрица имеет более простой вид Например, преобразование 2 = Л~х характеризует изменение системы координат, в которой был представлен входной сигнал x В новом базисе, заданном векторами-столбцами матрицы А, ковариационная матрица определяется соотношением

(22~> = Л~Впц,Л (2 92)

Преобразования вида (2 92) с неособенной матрицей А называются конгруэнтными, а структура этой матрицы определяет некоторую диаграммообразующую схему, причем амплитудно-фазовые распределения парциальных каналов задаются векторами-столбцами матрицы А

Заметим, что преобразование от исходной системы диаграмм элементов решетки к парциальным диаграммам с требуемыми характеристиками часто реализуется на практике как в аналоговой, так и в цифровой форме Это позволяет осуществить предварительную (неадаптивную) пространственную фильтрацию в целях уменьшения уровня боковых лепестков и грубого углового разрешения В результате ковариационная матрица в многоканальной АР имеет разреженную структуру и может быть приведена к ленточной, что существенно упрощает последующие адаптивные процедуры настройки

Так, например, широко используется система парциальных диаграмм вида

г;/ (н) = sin(- Kd[u + 2n(l-l )/(/(d)])/sin (4 [и + 2я (/- 1 )/{Kd)]).

Эти функции взаимно ортогональны на интервале [-n/d, n/d] и создают веер остронаправленных диаграмм с угловым дискретом Д = 2n/Kd Каждой диаграмме (м) соответствует вектор АФР, реализующий равномерное амплитудное и линейное фазовое распределения возбуждения по раскрыву Совокупность К таких векторов образует ортогональную матрицу А,

элементы которой с точностью до множителя 1/у/С определяются из разложения единицы [4, 25]

а,г = ехр[~у-(;-1)(/г-1)], / = 1,2, , К,

k=\, 2, ,К (2 93)

Отметим, что матрица А, заданная выражением (2 93), совпадает с матрицей дискретных экспоненциальных функций (ДЭФ). Поскольку выходной сигнал 1-го парциального канала, пропорциональный фг(н), является результатом конечного преобразования Фурье вектора волнового фронта, представляет интерес возможность реализации быстрого преобразования Фурье Известно [31], что быстрые преобразования возможны,

если К являехся составным числом, т е, К = rst, где г, s, t - простые числа Более существенное упрощение обработки может быть 1 достигнуто, если /( = р", где р и п - целые числа В этом случае матрица А представима в виде п-й кронекеров-ской степени матрицы ДЭФ размером (рХр) и определяет базисную систему функций Виленкина-Крестенсона [31] Когда К = 2", БПФ реализуется матрицей Батлера [23] Если же используется п-я кронекеровская степень матрицы Адамара, то матрица А представляет систему Уолша-Адамара, для которой также известно быстрое преобразование [31] Быстрые преобразования для р = 4 и 8 приведены в [2]

Перечисленные способы преобразования базиса представления сигналов позволяют получить ортогональные диаграммы парциальных каналов с заданными характеристиками направленности (и диагональный вид ковариационной матрицы) лишь при изотропном внешнем излучении При наличии мешающих сигналов от дискретных источников преобразование к новому базису, в котором ковариационная матрица имеет простую структуру, должно быть адаптивным

Система уравнений (2 50) р результате конгруэнтного преобразования А приводится к виду

Л~в„шЛЛ-\у = 4~Уо,

и ее формальное решение определяется выражением

W = Л (Л~ВпшЛ)- Л~Уо (2 94)

Отсюда следует, что оптимальный весовой вектор W при произвольном неособенном преобразовании Л имеет разложение

VJ = AQ = F,g, + F,g,+ +FKg/c= Z g-feFb (2 95)

fe = i

тяе gk--компоненты вектора G = (Л~В11шЛ)~*Л~Уо, Рй, - векторы-столбцы матрицы преобразования A = [Fi Fa Fk] Из (2 94) ясно, что наиболее простое решение получается, если преобразование Л приводит матрицу Впш к диагональному виду Базис {F}, обладающий этим свойством, называется каноническим Следует отметить, что канонический базис не единственный К каноническим относятся все базисы с треугольной формой матрицы Л, реализующие метод ортогонали-зации Грама-Шмидта (см гл 3), базисы, используемые в методах двойственных и сопряженных направлений (см § 2 7) Однако среди бесчисленного множества канонических базисов имеется единственный ортонормированный - это базис из собственных векторов матрицы Впш

Выбор того или иного канонического базиса определяется сложностью реализации вычислительных процедур, и в этом