Разреженность матрицы и квазидиагональный вид существенно упрощают вычислительные процедуры адаптивной настройки АР, в особенности при большом числе каналов, когда размерность решаемых задач может достигать нескольких сотен В этой связи подготовка данных к решению задач адаптации имеет важное значение для больших антенных решеток, и реализация предварительного (не адаптивного) преобразования с заданными свойствами может облегчить адаптивное управление АР

3 2 1 Триангуляризация методом исключения Гаусса

Для решения систем уравнений типа (3 8) широко исполь-

зуются методы преобразования ковариационной матрицы Бщп к некоторому более простому виду В частности, большая группа методов связана с триангуляризацией исходной матрицы при помощи односторонних преобразований и фактически является развитием классического метода последовательного исключения Гаусса [30, 45]

Процесс решения системы (3 8) состоит из двух частей прямого хода и обратной подстановки В течение прямого хода

столбцы матрицы Впш последовательно преобразуются таким образом, чтобы все поддиагональные элементы обратились в нуль Каждое элементарное преобразование осуществляется простейшей матрицей вида

C = / + FH~, (3 10)

где F, Н -векторы размерности КХ1), /С -число каналов АР

В качестве вектора Н~ в данном методе выбирается координатный вектор соответствующего столбца

Н~=еГ = [0, О, ,0, 1, О 0], г=:1,2, ,К

Компоненты вектора F определяются из условия сохранения неизменными первых г-1 элементов преобразуемого столбца Впш, равенства единице диагонального элемента и равенства нулю остальных К - г элементов г-го столбца Этим условиям в соответствии с (3 10) удовлетворяют элементарные нижние треугольные матрицы вида

<3 II)

где = (G*) - Qr) - вектор-столбец r-ro шага, компоненты которого определяются следующим образом

= 0, кг, g[==\lbYr\ g[ = -b\[yb%\ i>r, (3 12)

- элемент г-й строки г-го столбца преобразуемой матрицы на г-м шаге

Прямой ход метода исключения состоит из К шагов вида

B+>=.L,B<\ г=1, ,К По окончании прямого хода процедуры получим

Б + "=LcLf ,. L,L,B\ (3 13)

где - верхняя треугольная матрица с единицами на диа

гонали

Обозначим = U, = Впш, LkLk-i ULi = L Тогда

вместо (3 13) получим

U = LB„ui (3 14)

После применения преобразований Lr {r = l, 2, , /С) к обеим частям уравнения (3 8) приходим к уравнению

UW = LYo (3 15)

Решение этого уравнения относительно W осуществляется обратной подстановкой, которая заключается в вычислении матрицы, обратной U

и,и, U„ ,UUh, (3 16)

где матрицы Ur определены соотношением

(3 17)

г = К, к-1, . ,2

Элементы вектора-столбца задаются в виде

п,= 6<+\ кг, п< = 0, t-r (3 18)

Таким образом, из (3 16) получим

Ц- = ии, и к (3 19)

Используя ЭТО! результат в (3 15), найдем решение

\i = U-LVo=UJJ, UkLk ULy, (3 20)

Общее число умножений и делений рассмотренного алгоритма для заполненных матриц равно

VG=-~{K + 3K-l) (3 21)

Если матрица Впш разрежена, то это свойство важно сохранить на этапах промежуточных преобразований Значительная экономия памяти и числа вычислительных операций для разреженных матриц достигается в том случае, когда матрицы треугольного разложения l и U хранятся в мультипликативной форме Элементарные матрицы вида Lf или Ur называются мультипликаторами, и для их хранения достаточно запомнить лишь ненулевые элементы г-го столбца (причем в случае раз-

реженной матрицы Вщл этих элементов оказывается немного). Вычисление мультипликаторов осуществляется рекуррентно в соответствии с (3 11), (3 12) для прямого хода и по (3 17), (3 18) в процессе обратной подстановки

Из (3 15) и (3 20) следует, что при необходимости изменения опорного направления (вектора Vo) требуется лишь пересчет правой части (3 15) без изменения элементов мультипликаторов Из разложения (3 14) и выражения (3 20) может быть

найдено разложение матрицы

Bni = U, Uk.UL, ul, (3 22)

Такое представление называется элиминативной формой обратной матрицы Преимуществом этой формы является простота операций умножения (слева или справа) на вектор и компактная форма хранения в ОЗУ (следует заметить, что обратная матрица в общем случае не обладает свойством разреженности)

Рассмотренный метод исключения Гаусса имеет ряд недостатков

1) возможное возрастание элементов gp = -b/bp, вычисляемых в соответствии с (3 12), в особенности при плохой

обусловленности Впш, что приводит к росту ошибок округления и, как следствие, к ошибкам в определении оптимального весового вектора,

2) возможное заполнение ненулевыми элементами промежуточных матриц ВС), что приводит к росту числа вычислительных операций и увеличению объема памяти ОЗУ;

3) процесс обратной подстановки не может быть начат до окончания прямого хода, так как элементы матриц-мультипликаторов Ur вычисляются в соответствии с (3 18), начиная с нижнего правого угла матрицы U