Наиболее компактно такое разложение реализуется для эрмитовых положительно определенных матриц Выборочная

ковариационная матрица Впш всегда эрмитова и с вероятностью, близкой к единице, положительно определена при объеме выборки п>2К {/С -число каналов АР) Если это условие выполнено, то для определения элементов треугольных матриц имеем уравнение

(3 29)

где L, L~ -нижняя и верхняя треугольные матрицы Из (3 29) получим

/u=VT, lii=bJ/bZ, у>1.

1и =

6., - Z Ctlr,

J > t

(3 30)

Из (3 30) следует, что для (КХК) матрицы требуется К извлечений квадратного корня и около умножений Для решения системы уравнений (3 8) получим соотношение

BnmW = LL~W = Vo,

которому соответствуют два уравнения

L~W = H, LH = Vo (3 31)

Из второго уравнения следует рекуррентное соотношение

h, = C(v, - Z ithX i=l, ,К

(3 32)

Компоненты весового вектора определяются выражением

fit - Z CiWr r=(J+l

г = К, . ,1

(3.33)

Общее число вычислительных операций методов Гаусса и квадратного корня примерно одинаково и определяется соотношениями (3 21) и (3 23), однако численная устойчивость разложения Холецкого выше, так как в выражениях (3 30), (3 32) и (3 33) используется накопление скалярных произведений

3 2 3 Триангуляризация плоскими вращениями

Рассмотренные методы решения системы линейных уравнений основывались на разложении ковариационной матрицы в произведение двух треугольных с помощью неунитарных пре-

образований, которые в общем случае обладают лишь ограниченной устойчивостью к ошибкам округления Однако основная идея последовательного исключения поддиагональных эле-

ментов матрицы Вцш может быть реализована и с помощью численно устойчивых элементарных унитарных преобразований, к которым относятся простые повороты соответствующего вектора-столбца матрицы в координатных плоскостях

Для преобразования заполненной матрицы размером {КХК)

к верхней треугольной требуется выполнить ~К{К-1) эле-

ментарных поворотов В случае разреженных матриц это число может быть существенно сокращено Прямой ход вычислительной процедуры подразделяется на К-1 основных шагов, а каждый г-й основной шаг включает в себя столько элементарных поворотов, сколько имеется ненулевых поддиагональных элементов в г-м столбце преобразуемой матрицы

Рассмотрим первый элементарный поворот г-то основного шага Пусть первым ненулевым поддиагональным элементом является Тогда для его обнуления применяется унитарная

матрица типа (3 10), которая в данном методе определяется следующим образом.

Q,r = /к + (с - 1) (е,еГ+е,еГ) + s (е,еГ - е,еГ), (3 34)

- комплексные параметры, характеризующие элементарный поворот в унитарном пространстве, такие, что

cf-fsp=l (335)

Структура матрицы Qir имеет вид

•к •

I. ----S ... в

(3.36)

Из (3 34) и(3 36) следует, что г-я и г-я строки преобразованной матрицы Q~B являются линейными комбинациями соответствующих строк ВС), поэтому для элемента b+i) получим

й1;+) = -5&;;> + б1;)=о

при условии, что сиз определены, как в (3 34). 102

После завершения всех промежуточных шагов унитарная матрица г-го основного шага представляется в мультипликативной форме

Q.= nQ,„ (3 37)

где и-верхняя треугольная матрица, Q - унитарная матрица По окончании прямого хода, т е после {К-1)-го основного шага, имеем

U = Qk-iQ 2 Q2QrB„ = Q~Bn (3.38)

или = Q>

где f/-верхняя треугольная матрица, Q - унитарная матрица Соотношения (3 38) описывают унитарно-треугольную факторизацию ковариационной матрицы и известны как Qi?-pa3-ложение (матрица R = U) с использованием преобразований Гивенса [34, 43] Реализация процедуры требует порядка 2К арифметических операций

Отыскание решения уравнения (3 8) осуществляется аналогично п 3 2 1 обратной подстановкой

g„„W=l/o -W = Q~Vo (прямой ход), (3 39)

W = Ho-*-W = "Ho = ~Q~Vo (обратная подстановка)

Число арифметических операций в обратной подстановке составляет -i)

Для экономии машинной памяти при решении задач большой размерности с разреженными матрицами в данном методе также используется мультипликативная форма хранения матриц, а для уменьшения эффекта заполнения разреженной матрицы в процессе триангулярнзации применяются перестановки столбцов и строк В отличие от разложения Холецкого, где перестановки не должны нарушать эрмитовость матрицы, в данном кетоде минимальное заполнение, а следовательно, и минимизация вычислительных затрат достигаются, когда преобразуемая матрица предварительно (и в процессе прямого хода) путем перестановок приводится к такому виду, чтобы наибольшие ненулевые элементы были сконцентрированы в левом верхнем углу

Общее число вычислительных операций метода вращений для заполненных матриц равно

v = 2K + K~2K = K {2К + К-2) (3.40)