![]() |
Главная -> Теория антенных решеток 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 [35] 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 Из выражений (3 57) - (3 59) следует, что в результате г-го шага процесса КГШ преобразуется только г-й вектор-столбец Ьг, причем в два этапа вначале он ортогонализируется по отношению к (/-1) предыдущим столбцам {q}, а затем нормируется После реализации К шагов получим Q = Впш (D,C/,D, UiDk) = Впш" = BnuR, (3 60) где Q, R - унитарная и верхняя треугольная матрицы Заметим, что часто для ортогонализации используют левое умножение на нижние треугольные матрицы (т е ортогонали- зируются строки Впш) в этом случае вместо (3 60) получим Q. = ЬВпш. (3 61) где L, Qi - нижняя треугольная и с ортогональными строками матрицы Соотношение (3 61) называется LQ-разложением матрицы Рассмотрим связь КГШ-ортогонализации с матрицами проектирования. Из соотношений (3 57) - (3 59) следует, что процедура строится по следующей схеме (2) p, = (/, P„)b„ q- I / b Рч = ЪЧ2, (3) Рз = {Ik - Pgi - Pqi) Ьз, Чз = ur p p\ ъ \ > \ vk ql q2) "3 I Р«з = ЯэЯз~, (3 62) {r)r = и к - Z Pqi) br (Ik - S Pq) b, V /==1 / Ч j = l / . Pqr - 4r47, r=l, 2,.. ,K, где Pqr - проектор на одномерное подпространство, заданное вектором Яг Из приведенных соотношений видно, что очередной вектор Qr строится из исходного вектора-столбца br как его нормированная проекция на ортогональное дополнение к подпространству уже построенных г - 1 векторов Такой способ построения ортонормированных векторов оказывается очень чувствительным к ошибкам округления [34, 41-43] При весьма косо- угольной исходной системе векторов {bj, что характерно для задач радиолокационного наблюдения, ошибки вычисления проекций накапливаются и ортогональность векторов нарушается Для повышения численной устойчивости применяется переортогонализация [42], которая требует дополнительно порядка арифметических операций, или используются различные модификации классической процедуры Модифицированный алгоритм ортогонализации Грама- Шмидта Повышение численной устойчивости достигается следующим видоизменением классического варианта За первые (г-1) шагов в матрице ортонормированы {г-1) столбцов, а г-й столбец ортогонален к ним На г-м шаге г-й стол- бец матрицы Втп нормируется, а последние К - г столбцов ортогонализируются к г-му столбцу После реализации /С-шагов элементарных преобразований получим (3 63) где SW = Впш, и г - элементарная верхняя треугольная матрица г=/ + еДР~<-еГ)== 1гт • frK 1 (3 64) где f.; = 0, у<г, Ur = \b74\\ frj-=- /> b(0 - /-столбец преобразуемой матрицы на г-м шаге Из приведенных выражений следует, что столбцы матрицы g(r-f-i) Q(r)u определяются соотношениями J<r, j=r, (3.65) bj> - [ьГ (ьГ *>b[)- ъ7 П ъП J > г. Из соотношения (3 65) следует связь . модифицированного алгоритма с операторами проектирования Аналогично (3 62) в данном случае имеем схему (1) q. = -, Р. =q,qr, bf=ilK-Pqdb„ у = 2, 3. . „К. (2) 42 = jilK-Pgi)b2\ilK-Pqi)b2\~\ Рд2 = Ч2Ч2, (3) qs = iU-Pq.) iK-Pq) Ьз h(3) "3 Wk-Ря.) [Ik-P,.) Ьз ЬГ = Д(/.-Р,,)Ь;, /=4, 5, ,К . <7э = qaqr, {г) q,= n(/j,-P,Jb, П(/-РЬ, « = 1 . ?,=qrqr. (3.66) г = 1 Сравнение (3 62) и (3 66) показывает отличия модифицированного алгоритма На каждом шаге процедуры производится ортогонализация (без нормировки) оставшихся К - г векторов Ыр путем проектирования каждого из них на ортогональное дополнение к построенному вектору q Такая корректировка на каждом шаге процесса позволяет избежать трудоемкой процедуры переортогонализации Умножая (3 63) слева на В- и учитывая, что Q- = Q~, найдем B-==U,U2 UkQT (3 67) Таким образом, алгоритм ортогонализации может быть использован для вычисления обратной матрицы в факторизованном виде Для разреженных матриц это существенно экономит требуемую память ОЗУ Для решения системы линейных уравнений с использованием ортогонализации Грама-Шмидта требуется К+К умножений, -{2К. - - К) сложений, К - делений, /С -извлечений квадратного корня 112 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 [35] 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 0.0092 |
|