в случае работы с разреженной матрицей Ваш во избежание заполнения во время прямого хода следует оптимизировать перестановки строк и столбцов Один из алгоритмов ортогонализации с минимизацией заполнения (а следовательно, и вычислительных затрат) заключается в следующем

- На первом шаге определяются все столбцы, Вш, содержащие всего один ненулевой элемент Эта группа столбцов ортогонализируется к остальным столбцам матрицы Если после этого появляются еще столбцы с одним ненулевым элементом, они также включаются в первую группу столбцов и ортогонализируются к остальным, имеющим большее заполнение

- На втором шаге оставшиеся столбцы упорядочиваются по величине заполнения, которое имело бы место, если бы данный столбец был выбран в конце первого шага

Физический смысл этих операций ясен и имеет глубокую связь с разложением /(-мерного пространства наблюдаемых сигналов в прямую сумму подпространств, рассмотренным в § 2 6 Действительно, столбцы с единственным ненулевым элементом соответствуют каналам АР, в которых отсутствуют сигналы мешающих источников, поэтому они должны быть сразу отделены от группы каналов, в которых осуществляется подавление мешающих сигналов Процедура подавления реализуется как взаимная компенсация мешающих сигналов при весовом суммировании канальных напряжений, поэтому наибольшая эффективность подавления (а следовательно, и ортогонализации) достигается в тех подгруппах каналов, где превалирующее воздействие имеет один наиболее интенсивный (в этой подгруппе) источник излучения Критерием объединения каналов в такую подгруппу и является упорядочение по величине заполнения

3 2 6 Итерационное уточнение решения

Весовой вектор W, полученный в результате решения системы уравнений (3 8), всегда является приближенным решением по двум основным причинам

1) ошибки в элементах выборочной ковариационной матрицы, возникающие вследствие ограниченного объема обучающей выборки п и конечного числа разрядов аналого-цифрового преобразователя (АЦП),

2) ошибки округления, возникающие в процессе решения задачи

Если основной вклад в погрешность решения вносится ошибками округления в процессоре, то приближенное решение можно уточнить Это уточнение реализуется путем формирования последовательности приближенных решений W(p) (р = 1,

2, , oo), сходящихся к точному решению системы BnmW = = Vo Представим точное решение в виде

W-W + A", (3 68)

где А№) - вектор-поправка на р-й итерации Подставляя (3 68) в уравнение (3 8), найдем

BnmW* + Л" = Vo, Впш А< = Vo - B„n.W<> (3 69)

Обозначим r№) = Vo - BnmW(p) - вектор-невязка решения нз р-й итерации Тогда из (3 69) следует, что

ВпшА<" = г<" (3 70)

Если для решения системы (3 8) используется какое-либо разложение Впш на множители, то из (3 70) определяется вектор-поправка р-й итерации Таким образом строится последовательность приближений

Для обеспечения численной устойчивости невязка нормируется, и после этого решается система уравнений (3 70) для определения поправки В (3 71) подставляется найденная поправка и умножается на норму невязки Для реализации одной итерации требуется столько же арифметических операций, сколько и на решение системы уравнений выбранным способом

Если факторизация Вщп используется для обращения, то можно построить итерационный процесс уточнения элементов обратной матрицы Определим матрицу ошибок как

T, = I-BnZ„ (3 72)

где Zo - матрица, обратная Внш, вычисленная с ошибками округления

Если евклидова (сферическая) норма То удовлетворяет условию Го116<1, то будет сходиться следующая последовательность матриц

Zi - Zq{IТо), Ti = I - Впши

Z2 = Z,(/-4-r,). TI-XmZi, (3 73)

Zp - Zp -I (/i p-]),- Tp - / BjiiaZp,

Zp = Zp-, + Zp-,(f-B„Zp-X P=l. 2, . (374)

Итерационный процесс (3 74) сходится при выполнении условия на норму \\То\\ со скоростью геометрической прогрессии [42] Норма матрицы невязок определяется соотношением

Для реализации одной итерации необходимо выполнить 2/С умножений, 2К - 2К+К сложений

Следует еще раз подчеркнуть, что процесс уточнения решения связан только с устранением влияния плохой обусловленности матрицы исходной системы на погрешность решения Если же погрешности определяются неточным заданием входных данных, процесс итерационного уточнения бесполезен и даже может привести к некоторому росту ошибок

В заключение этой главы заметим, что рассмотренные методы односторонних преобразований столбцов (или строк) выборочной ковариационной матрицы далеко не исчерпывают большое разнообразие вычислительных алгоритмов, относящихся к прямым методам Еще более широкий класс алгоритмов представляют итерационные методы.

Объем монографии не позволяет осветить весь круг вопросов, связанных с классификацией различных методов и алгоритмов с учетом специфики радиолокационного наблюдения Однако приведенные в главе методы триангуляризации находят широкое применение как в прямых, так и в итерационных алгоритмах Так, например, использование рассмотренных методов для двусторонних преобразований ковариационной матрицы эквивалентно переходу к новому базису представления входных сигналов, а это в свою очередь позволяет преобразовать алгоритм к рекуррентной форме и осуществить вычислительный процесс в темпе поступления радиолокационной информации Такая модификация алгоритма стирает грань между прямыми и итерационными методами, так как обновление наблюдаемой последовательности выборочных сигналов требует соответствующей коррекции решения, полученного в предшествующие моменты времени

Другим примером является обобщение процедуры ортогонализации Грама-Шмидта для построения Л-ортогональных (сопряженных) базисов представления сигналов, рассмотренное в гл 2 По-видимому, сочетание быстродействия прямых методов и устойчивости к ошибкам округления итерационных является тем путем, на котором находится компромиссное решение, удовлетворяющее требованиям высокой скорости сходимости, устойчивости и малых вычислительных затрат