где (/(Аф) -унитарная матрица (КХК), характеризующая поворот вектора в Д-мерном пространстве на угол Аф

Таким образом, решение уравнения правдоподобия (4 11) является оценкой (в общем случае комплексного) угла поворота Аф опорного сигнала Vo, при котором функция правдоподобия достигает максимального значения Поскольку элементы матрицы и (Аф) оцениваются по наблюдаемым сигналам в Д-мерном пространстве, а угол поворота определен в параметрическом пространстве группы вращений комплексной плоскости, необходимо осуществить отображение Д-мерного пространства в параметрическое Это отображение реализуется нелинейным функциональным преобразованием, которое определяет пеленгационную характеристику

В дальнейшем будет показано, что точные решения уравнения типа (4 11) для двухканального адаптивного измерителя

позволяют определить оценку угла поворота Аф в виде некоторой монотонной функции от оценки отношения коэффициентов передачи диаграмм измерительных каналов

Полученное уравнение справедливо для АР с произвольными пространственными характеристиками парциальных каналов, в том числе и для произвольных диаграммообразующих схем

4 13 Уравнение правдоподобия для квазислучайного сигнала с неизвестной интенсивностью

Рассмотрим вывод уравнения правдоподобия при тех же статистических характеристиках мешающих сигналов, что и в п 4 1 2, но для случая, когда полезный сигнал представляется в виде модели пачки нефлюктуирующих сигналов с неизвестной интенсивностью и равномерно распределенной начальной фазой

Функция правдоподобия для принятой модели имеет вид

Lnibo, и„) = {2п)-"(detВпш)~"X X ехр I-- Д (X, - ЬуГ В™ (Х, - 6oV„)j, (4

13)

(. 1=1 }

м

х, = №+ S /P V„. + N

- вектор (ДХ1) выборочных значений смеси полезного и мешающих сигналов в г-й момент времени, bs, bo - комплексные амплитуды полезного и ожидаемого сигналов соответственно Преобразование (4 13) к уравнению правдоподобия относительно угловой координаты Аф = гго -гга осуществляется пу-

тем исключения параметра Ьо Для этого можно по аналогии с п 4 12 использовать систему уравнений

[lnL„(&o, «„)]=0, i[lnL„(, Ио)] = 0,

<36q

Эквивалентные системы уравнений получаются дифференцированием но квадратурам Ьо или по вещественной и мнимой составляющим В [12 используется непосредственная максимизация (4 12) по Ьо и argbo

Рассмотрим способ исключения, основанный на построении оценки Ьо [36] Для этого дополним показатель экспоненты в (4 12) до полного квадрата относительно Ьо

In [L„ (fe„, ы„)] = In с - IХГВГшХ; + VoB-Yo X

1 = 1 V,

I

(4 14)

0 пшо

где с - коэффициент, не зависящий от варьируемых параметров Ьо и Uo

Так как все слагаемые под знаком 2 в (4 14) неотрицательные, МП-оценка bs определяется из условия

Ьо -

что эквивалентно соотношению

mm 2]

\в-\.

s = = -(Vo~вJv„) Е хГВгГшУо

(4 15)

Подставляя оценку (4 15) в (4 14), получим функцию правдоподобия относительно угловой координаты

ln[L„(«o)] = lnc-i; ХГВХ, + (Уо~ВйшУ„)" S ХГВ™У„Р

(4 16)

Приравнивая нулю производную (4 16) по Мо, получим уравнение правдоподобия

Z (хгв;г>о) Ио~в-х,)

Li=j .

Re (Vo~B-JrfVo)

0 пшо

(4 17)

Из сравнения выражений (4 17) и (4 11) следует их полная идентичность, а это означает инвариантность обработки в измерительных каналах к рассмотренным моделям сигналов Отмеченная инвариантность уравнения правдоподобия характеризует устойчивость алгоритмов оценивания (представляющих решения (4 17)) к возможным отклонениям характеристик реальных обрабатываемых сигналов от принятых моделей, что весьма важно при практической реализации устройств обработки

4 14. Связь оценок максимального правдоподобия с задачами на экстремум отношения квадратичных форм

Максимизация функции правдоподобия при гауссовой статистике мешающих сигналов естественным образом связана с отысканием экстремальных значений квадратичных форм в метрике, заданной межканальной ковариационной матрицей Впт Эта связь следует из максимизации выражения (4 16), так как эквивалентным соотношением для отыскания МП-оценки угловой координаты является максимизация функционала

Z = шах I .,~„-и,-f - (4 18а)

или Z = max i--[, (4 186)

"0 Vq ЙпШО j

- выборочная ковариационная матрица смеси полезного и мешающего сигналов

Полученные соотношения совпадают с результатом, приведенным в [12], при отсутствии внешних мешающих источников излучений Заметим, что числитель выражений (4,18а) и (4 186) равен суммарной мощности смесн полезного и мешающих сигналов на выходе пространственного фильтра с весовым вектором W==5Vo, а знаменатель определяет усредненную

мощность мешающих сигналов на выходе фильтра, поэтому при увеличении объема выборки п получим

п-»-оо «-»-oojW BnmW I