4 2 3 Декорреляция измерительных каналов с произвольными весовыми векторами пространственной обработки

Большой набор методов диагонализации матриц в случае, когда матрица М имеет размер (2X2), сводится к двум способам использование процедуры Грама-Шмидта и декорреляция ортогональным преобразованием (метод Якоби)

Декорреляция методом Грама-Шмидта При этом матрица преобра зования An должна быть верхней или нижней треугольной В связи с тем, что канал S обычно оптимизируется для задачи обнаружения, используем верхнюю треугольную форму матрицы

М,2 1

(4 60)

Подставляя (4 59) в (4 47)l, получим

ГМ„ О Q=AiMA,= ,

L О МП det М

Отсюда следует, что

Qii = M,„ Q22 = Mn detM Вектор преобразованных сигналов равен

2г =izt, zli) =

и. - мпм

М J

(4 61)

Используя соотношения (4 52) и (4 60), получим оценку отношения измерительных диаграмм

а. (и \ \ . lAZm I f t и \ \ лл

(4 62)

gTfi.) ] VdiOT ( М".) Мг2

Подставив в (4 62) оценку в форме (4 51) или (4 57), найдем алгоритм обработки

- arctg-~-

1=1 1 = 1

, M,2

(4 63)

Учитывая, что компоненты вектора Z связаны с сигналами в измерительных каналах соотношением (4 61), преобразуем алгоритм к виду

ydet М

i = \

detM

1 = 1

(4 64)

Представляет интерес сравнить алгоритм (4 64) с приближенным решением уравнения правдоподобия (4 31)

detM

( = 1

ReM,2

detM

Сравнение показывает, что приближенное решение также реализуется через операцию декорреляции сигналов измерительных каналов, после которой вычисляется оценка линейной регрессии Однако в отличие от (4 31) ОР-оценка из (4 64) асимптотически несмещена, т е

8A{s)

(4 65)

где т\[ ] - среднее значение оценки

Если для примера сгитать, что весовые векторы каналов 2 и А формируются, как ив (4 31), т е

то методом коррекции оценки (4 64) в соответствии с (4 54) можно получить алгоритм

;(аф) = .

det М

SAis) LV 8ъ («.)

(4 66)

- оценка из (4 64)

Пеленгационная характеристика этого алгоритма определяется соотношением

П X =/гг, [б(аф)] =-J

И («о)

gsCs) 2("о)

(4 67)

Из сравнения (4 67) с (4 32) следует, что в отличие от ЛР-оценки (4 31) П X ОР-оценки не зависит от энергетических характеристик полезного и мешающих сигналов

Декорреляция методом вращений В общем случае произвольных измерительных диаграмм матрица М имеет комплексные элементы и потому может быть приведена к диагональному виду унитарным преобразованием Однако для рассматриваемых диаграмм с совмещенными фазовыми центрами это преобразование сводится к ортогональному с матрицей Лг, равной

cosp -sin sinp COS pj

(4 68)

где P = -4 arctg

2 " Мп-М22

разовании сигналов у, Уа в сигналы Zx, za

угол поворота базиса при преоб-

Подставляя (4 68) в (4 47), получим

{tvM + [(tr Mf - 4 det М\}, О

{tr Л! - [(tr Mf - 4 det М})

Т., 0-0 xj

Q = ATMA2 =

(4 69)

где tr М = М11+М22 - след матрицы М, к[, Яг - собственные значения матрицы М