Круговым средним значением случайного угла ф называют угол

[x = ArgT, = arctg (у,/р,) (5.39)

Величину ti называют результирующей длиной, а рассеяние случайного угла относительно фиксированного направления vo характеризуется зависимостью

y(vo)= J [1 -cos(Tjj-v„)]ir(ijj)di]; = l-T,cos (ц -v„) =

= 1 -1 т, I + 21 т. I [sm((x - v„)/2] (5 40)

Если направление vo совпадает с круговым средним р,, то величина

f = a(jx)=l-т, (541)

называется круговой дисперсией случайного угла i)

Из соотношений (5 37) - (5 41) следует, что для определения моментов угловой случайной величины необходимо вычисление ее тригонометрических моментов

Поскольку непосредственное интегрирование ряда в виде (5 34) вызывает затруднения, обратимся к распределению в форме (5 30) и произведем ряд преобразований Обозначим б-Н/и, if = arctg/П12/6 и произведем замену переменных (якобиан преобразования I = uo), в результате получим

2" (2n-I)«„(s2-«2)«-V.

"[(4+ 4/(1-0)]" Г (И) (2и-1)Р 2s ( 2/?„м„

X

(5 42)

Интегрируя (5 42) по яр (0,2я), найдем

WAS, "о) =

H + alf{l-Rl)Yr{n) (2«-l).l

где 1о{х) - модифицированная функция Бесселя нулевого порядка Используя выражения (5 42) и (5 43), определим условное распределение случайного угла

(5 44) 167

где /й(й) -модифицированная функция Бесселя I рода нулевого порядка,

2 , 2>

fe=2WKos + ai)(l -RI

- параметр распределения, характеризующий меру рассеяния случайного угла -ф

Из (5 44) следует, что условное распределение случайного угла a) представляет собой распределение Мизеса [50] и не зависит от статистики s Параметрами распределения Мизеса являются

2аор = arctg {RIRc) = arctg [2RaaJ{ai - al)], 2RoUo UMtrM

(4 + oi)(l-o) ~ 4det7W X

J 4 det Af

{uMf У

(5 45)

где М - матрица (2X2) генеральной совокупности, характеризующая параметры распределения в измерительных каналах,

М - матрица (2X2), составленная из выборочных моментов распределения mi,

Используя распределние (5 44), определим вначале условные моменты Для этого подставим (5 44) в (5 37) и найдем составляющие Рр и ур при р = 1

2nll{k) 1 ехр [-Й cos (2аор - -ф)] dlp = cos 2аор -щ-,

где h{k) - модифицированная функция Бесселя I порядка Аналогично для yi получим

Y, =31п2аор[/,(й) „(й)]

Таким образом, первый тригонометрический момент в соответствии с (5 37) определяется выражением

т = ехр(/2аор)[/,(й) „(й)] (5 46)

Отсюда следует, что круговое среднее значение

р, = arg т, = 2аор = arctg {RlRc) (5 47)

Из (5 47) следует, что условное круговое среднее не зависит от k и, следовательно, равно безусловному среднему Это означает, что при произвольном объеме выборки круговое среднее оценки угла не смещено относительно 2аор и совпадает с модой

(5 34) Условная круговая дисперсия в соответствии с (5 40) равна

V {/s, м„) = 1--cos

(5 48)

Для определения безусловной дисперсии следует усреднить (5 48) по S и Ыо Поскольку полученное выражение не зависит от статистики s, достаточно произвести усреднение но uo

(5 49)

Для вычисления (5 49) найдем вначале распределение ыо путем интегрирования (5 43) по s («os<oo) В результате получим

4<

(4 + 4)" + • (1 - о) г (п) [ (о + al) (1 - Rl) 2ио 1

.(4 + 4)0-о) J

(5 50)

где (л:)-модифицированная функция Бесселя И рода

{п- 1)-го порядка

Используя параметр k, введенный в (5 44), произведем преобразование переменной в (5 50) и приведем его к виду

Подставляя (5 51) в (5 49) и интегрируя по переменной k, получим

D (\ D2l« Г (/г+1/2) г (л)

и (я],) = 1 - COS 2аор 0 (1 -

(5 52а)

где F {а, р, у, х) - гипергеометрическая функция Гаусса

Используя преобразования гипергеометрической функции [51], соотношение (5 52) можно представить в других вариантах

и (ч,) = 1 - cos 2аор/?о (1 -

<о)" -р-г X

Т(п)

(5 526)

где К и Е - полные эллиптические интегралы 1-го и 2-го рода