или ti (ij)) = 1 - COS 2aopPo --p X

XP 4 2 °)- (2>

Полученные формулы являются точными для произвольного объема выборки, однако требуют некоторой коррекции, так как из алгоритма оценивания ортогональной регрессии сле-

дует, что оценка равна «ор = /2, и угол аор оказывается случайной величиной, распределение которой имеет период (О, гх) Распределения с периодом 2п11 называются по [50] высокочастотными

Круговая дисперсия высокочастотного распределения определяется формулой

где А - решение уравнения Ii(k)/1о{к) = Ii{k)/Io{k) Приближенное решение этого уравнения при большом k определяется из разложения в ряды и дает следующее соотношение

к« кР

Таким образом, для двухмодового распределения аор на [0,2п] получим, что к = 4к, где к - параметр распределения Мизеса (5 44) Тогда для больших значений к [50] показано, что y(ij)) и v{\p/l) связаны соотношением

Отсюда при I = 2 получим

V (1з/2) » 1 - [1 - у « V (я))/4 (5 53)

Соотношения (5 52) и (5 53) позволяют рассчитать круговую дисперсию оценок угла наклона ортогональной регрессии, реализуемых алгоритмами (4 51) или (4 57) Как показано в гл 4, при выполнении условий стабилизации П X эти оценки совпадают с оценками угловой координаты источника полезного сигнала В том случае, когда используется метод коррекции П X, вычисленную круговую дисперсию следует нормировать к квадрату крутизны П X (тек р2(«о))

tga.,J-=.1; (5 54)

§ 55 СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ТОЧНОСТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК АЛГОРИТМОВ ОЦЕНИВАНИЯ УГЛОВЫХ КООРДИНАТ

Как показано в гл 4, основные вычислительные операции при формировании оценок угловых координат реализуются алгоритмами двух типов

а) вычисление оценки линейной регрессии вида

• =j

Ей... 1=1

б) вычисление оценки ортогональной регрессии вида

«ор = 4 arctg--i-;-.rci-J, (5 55)

( = 1 (=1

где гзг, 2д1 - выходные сигналы измерительных каналов после их декорреляции, осуществляемой в отсутствие полезного сигнала

Операции устранения смещения нуля и коррекции крутизны П X не отражены в (5 54) и (5 55), так как, во-первых, они пе влияют на статистические свойства оценок (за исключением масштаба измерений), во-вторых, при выполнении условий стабилизации П X эти операции реализуются в процессе адаптации измерительных диаграмм в виде выполнения ограничивающих условий (см и 4 24)

Задачей настоящего параграфа является сравнение свойств оценок (5 54) и (5 55) Частично такое сравнение следует из сопоставления П X, полученных в гл 4, однако оно характеризует лишь асимптотические свойства средних значений оценок

Для сопоставления точности измерений желательно получить пеленгационные и флюктуационные характеристики алгоритмов для произвольного объема выборки п Задача осложняется тем, что оценки (5 54) и (5 55) выражены в разных единицах измерения, а точные соотношения для дисперсии оценки (5 55) неудобны для анализа в общем виде Вследствие этих причин сопоставительный анализ проведем при условии большого отношения полезного сигнала к мешающим на выходе адаптивных измерительных каналов Это не является чрезмерно ограничительным, поскольку точные измерения возможны лишь при выполнении указанного условия

Расчетные соотношения получим методом моментов [47], которые определим цз характеристической функции совместного распределения статистик гпн, тгг и Re mi2 (5 10)-<

e„{t, и, v) = il- RY {[ 1 - 2itol {\-Rt)][\-2}aal{\- R] -

- [P + ivaxoi, (1 - R)]}-" (5 56)

Для алгоритма (5 54) характеристическая функция соответствует совместному распределению статистик Remi2 и тп, поэтому, полагая в (5 56) « = О, получим

в„ (t, у) = [ 1 - 2jtal - 2}vRaaA + v\lal (l - R)]" (5 57)

Используя выражение (5 57), найдем первые и вторые моменты совместного распределения (5 14) статистик Re mi2 и та для произвольного объема выборки п

= 2nRaya„,

т (Re mis) =

1 дЩ,ги, V)

, = 2naUl (! + /? + 2nlf) =

= 2поЫ(1 - R") + 4n (n + I) alaW, M2(Rem,2) = m2(Rem,2) - Im, (Rem,2)] = 2ша1(1 +/?), m. (m,.) == -i- ""У/ 1 = 2no, m (m„) = 4« (n + 1) oi

2 (/Пп) = 4na,

m,, (Kemi2, m,,j--yp---

/=0 a=0

= 4rt(rt+ 1)Ра0д,

Mu = mu (Rem,2, m,,) -m, (Rem,2) m, (mi,) = 4rtPoa, (5 58)

где mij - начальные моменты, Mjj - центральные моменть!

Найденные моменты позволяют определить приближенные выражения для среднего значения, дисперсии и полной среднеквадратической ошибки ЛР-оценки, реализуемой алгоритмом (5 54)

(5 59)

Сравнение (5 59) с (5 15) показывает, что приближенное выражение совпадает с точным