ния мне неизвестны». Ферма ни разу не изменяет своему спокойному тону. Он чувствует свое глубокое превосходство как математика, поэтому не входит в мелочную полемику, а терпеливо старается растолковать свой метод, как это сделал бы учитель ученику.

Широкой публике (даже далекой от математики) Ферма известен прежде всего благодаря Великой теореме, носящей его имя. Однако Ферма занимался не только наиболее любимой им теорией чисел, к области которой относится эта теорема, но и математическими проблемами, стоявщими в центре внимания ученых XVII века, а именно, задачами определения максимумов и минимумов, нахождения касательных, вычислений площадей, центров тяжести, длины дуг кривых, короче, теми вопросами, которые мы сейчас относим к математическому •анализу или дифференциальному и интегральному исчислению. И здесь Ферма принадлежат самые крупные результаты, предшествующие созданию дифференциального и интегрального исчисления Ньютоном и Лейбницем. Кроме того. Ферма первым пришел к идее координат и создал аналитическую геометрию. Он занимался также задачами теории вероятностей. Но Ферма не ограничивался одной только математикой, он занимался и физикой, где ему принадлежит открытие закона распространения света в средах. Ферма исходил из предположения, что свет пробегает путь от какой-либо точки в одной среде до некоторой точки в другой среде в наикратчайшее время. Применив свой метод максимумов и минимумов, он нашел путь света и установил, в частности, закон преломления света. При этом Ферма высказал следующий общий принцип: «Природа всегда действует наиболее короткими путями», который может считать предвосхищением принципа наименьшего действия Мопертюи - Эйлера.

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Одной из первых математических работ Ферма было восстановление двух утерянных книг Аполлония «О плоских местах». Методы, которыми пользовался Аполлоний, мы бы сейчас отнесли к аналитической и проективной геометрии. Однако во времена Аполлония не было еще буквенной алгебры,

6

поэтому он записывал алгебраические формульТ Н уравнения кривых геометрически, с помощью так называемой геометрической алгебры. Например, наша формула {аbY = аР- Л- -\- 2аЬ записывалась (и доказывалась) древними с помощью чертежа (рис. 1), Основное отличие современных методов аналитической геометрии, от методов Аполлония заключается в применении буквенной алгебры. И первый, кто понял, как следует применять нобую алгебру к задачам геометрии, был Пьер Ферма. В 1636 году появилось в рукописи его сочинение «Введение в изучение плоских и пространственных мест»*), в котором последовательно строится аналитическая геометрия на плоскости. Еще при восстановлении книг Аполлония Ферма оценил преимущества метода координат и понял, что уравнение с одним неизвестным вполне определяет некоторую величину, уравнение с двумя неизвестными - геометрическое место на плоскости (кривую), уравнение с тремя неизвестными - множество точек в пространстве (поверхность). Свое «Введение» Ферма начинает с выбора в качестве осей координат двух прямых, пересекающих друг друга под некоторым определенным углом (не обязательно прямым). Затем, в противоположность Аполлонию, он исходит не из геометрического образа, а из уравнения. По существу, он показывает, что любое уравнение первой степени между координатами представляет прямую линию, а уравнение второй степени - некое коническое сечение, причем отмечает условие, при котором соответствующее геометрическое место будет окружностью. Для приведения уравнения второй степени к одному из канонических видов, известных древним. Ферма

Рис. I. Чертеж, иллюстрирующий способ записи формулы (а-Ь6) = а*+6*+2а6 и ее доказательство.

*) Под «плоскими местами» Ферма, следуя древним, понимал прямые и окружности; под «пространственными местами» - конические сечения.

применяет преобразование координат. Все изложение Ферма строго последовательно.

Годом позже вышло в свет сочинение Декарта «Рассуждение о методе», последняя часть которого «Геометрия» была также посвящена аналитической геометрии. Это произведение затмило «Введение» Ферма, хотя с чисто математической точки зрения оно было написано менее систематично. Дело в том, что Декарт создал новое более удобное буквенное исчис-ленж;, которым мы пользуемся с незн.ачительными изменениями и сейчас, тогда как Ферма применял быстро устаревшую алгебру Виета. Кроме того, Декарт представил новую алгебру вместе с координатным методом как «универсальную математику», об-Ш.ИЙ метод для решения всех задач. Такая «реклама» способствовала популярности его произведения.

КВАДРАТУРА ПАРАБОЛ И ГИПЕРБОЛ. ВЫЧИСЛЕНИЕ ДЛИН КРИВЫХ

До Ферма систематические методы вычисления площадей разработал итальянский ученый Кавальери (1598-1647 годы). Он написал довольно толстую книгу «Геометрия неделимых» (1635 год), где вычислялась площадь которую мы могли бы теперь

представить как xdx. Впоследствии в работе о

«Шесть геометрических этюдов» (1647 год) он вычислил аналогичные площади для парабол

x"dx, « = 3, 4, ..., 9.

Но уже в 1642 гоДу Ферма открыл метод вычисления площадей, ограниченных любыми «параболами», т. е. кривыми у = axf {p/q > 0) и любыми «гиперболами» ==-. Изложение Ферма занимало

К) страниц. Для гипербол вида ухР = a{p/q > \) Ферма вычислил впервые площадь неограниченной фигуры, расположенной между осью абсцисс, прямой х = хо и ветвью гиперболы (рис. 2). Для этого ему