. пришлось дважды совершать предельный "переход. Таким образом, было показано, что площадь неограниченной фигуры может быть конечной.

Ферма одним из первых занялся задачей спрямления кривых, т. е. вычислением длины их дуг. Он сумел свести эту задачу к вычислению некоторых площадей. Так, он показал, что вычисление длины дуги параболы ф=2рх (от точки (О, 0) до некоторой точки {х\, 1)) (рис. 3) сводится к нахождению площади фигуры, ограниченной гиперболой х - - Ф=Р осью ординат, осью абцисс и прямой у= = У1 (рис. 4).

Таким образом, понятие «площади» у Ферма приобретало уже весьма абстрактный характер. К определению площадей сводились задачи на спрямление кривых, вычисление сложных площадей он сводил с помощью подстановок к вычислению более простых площадей. Оставался только шаг, чтобы перейти

Рис. 2. К определению площади неограниченной фигуры между осью абсцисс, прямой х = Хй и ветвью «гиперболы».

Рис. 3. К нахождению Рис. 4. К определению площади длины дуги параболы фигуры, ограниченной гиперболой == 1рх. - у = р. осями абсцисс и ор-

динат и прямой у = у\.

от площади к еще более абстрактному понятию «интеграл», и этот шаг был сделан Ньютоном и Лейбницем уже после смерти Пьера Ферма.

МЕТОД МАКСИМУМОВ И МИНИМУМОВ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КАСАТЕЛЬНЫХ

Не позднее 1629 года Ферма открыл методы нахождения экстремумов и касательных, которые, с современной точки зрения, сводятся к отысканию производной. В конце 1636 года законченное изложение метода было передано Мерсенну и с ним могли познакомиться все желающие. Он сообщил о своем методе и в письме к Декарту (1638 год). Для нахождения экстремума многочлена F{x) Ферма .предлагает следующее правило: 1) подставить в F{x) вместо х выражение x-\-h, 2) «приравнять в смысле Диофанта» (этот оборот Ферма не разъясняет) F{x) и F(x-\-h):

F{x) = F(x + h) =

= F(,x)-{-hA{x)-\-hm{x)+ ... +/г"д(л;),

3) после приведения подобных членов сократить на h,

4) положить Л = 0. В результате получится равенство А (х) = 0. Ферма утверждает, что все значения х, при которых у = F{x) имеет максимум или минимум, заведомо являются корнями А{х). Сама функция А{х), которая получается по правилу Ферма чисто алгеб" раически (т. е. без предельного перехода), теперь называется производной от F{x) и обозначается F{x).

Вот один из примеров Ферма: пусть надо разбить отрезок а на такие две части х и а - х, чтобы произведение л;2(а - х) принимало максимальное значение *). Берем F(x-\-h) = (x-{-h){a~x - h). Приравниваем

{а-х) = х (а --х) + h {2ах - Зл;) + кЦа- Zx) + h\

После приведения подобных членов и сокращения на h получаем

2ал; - Зл;2 + Л (а - Зх) Ч-= 0. Полагая Л = О, имеем 2ах - Зл; = О, откуда JCi = О и

Как же Ферма обосновывал свое правило? Почему данный им «рецепт» всегда приводит к цели? Сам Ферма предложил несколько различных обоснований. Приведем одно из них в несколько модернизованном

*) Этот максимум был найден еще Архимедом (И1 век до н. э.).

виде. Пусть многочлен F(x) достигает максимума*) в точке Хо. Это значит, что при небольших h (предполагаем, что Л > 0) F{xo+ fl) <F{x) и F{Xo-h) <F{x) или, располагая члены F{xo± К) по степеням h, получаем систему:

F (хо) + hA [Хо) + т (;со) + .,. + Иq{xo) < F (Хо),

F (хо) - hA (хо) + hB (д:о) - ... ± h"Q (хо) < F (хо);

отсюда

А(хо) + hB{xo)+ ... + h"-Q{хо) < О,

- А (Хо) + /гВ (хо) - ... ± A"-Q (хо) < 0.

Но при малых h знак суммы будет зависеть только от А{хо). Тогда из первого неравенства следует, что А (лго) О, а из второго Л (хо) 0. Итак, необходимо, чтобы А (хо) - 0.

Ферма дал также общий метод для определения того, будет ли точка х, в которой А (х) = О, точкой максимума, минимума или точкой перегиба функции y = F(x). Метод был основан на рассмотрении второй производной. Заметим, что все методы Ферма были вполне строгими. После него математики отбросили требование строгости и перешли к некритическому оперированию с бесконечно малыми величинами, определить которые они не умели. Строгие методы в математическом анализе появились вновь только в начале прошлого века в работах Гаусса, Коши и Боль-цано.

Замечательно, что Ферма понял, что этот же метод лежит в основе нахождения касательных к кривым линиям. Он дал метод нахождения касательных, основанный на том же принципе, что и его метод экстремумов**). Теперь в основе обоих методов лежит нахождение производной, которая для многочленов автоматически получается в методе Ферма.

Дальнейший успех методов определения «площадей», с одной стороны, и «методов касательных и экстремумов», с другой, состоял в установлении взаим-

*) Для случая минимума рассуждение проводится совершенно аналогично.

**) Для читателей, которые захотят познакомиться с трактатом Ферма «О максимумах и минимумах», сообщаем, что его перевод помещен в приложении к книге Декарта «Геометрия>, с. 154-157.