ной связи этих методов. Есть указания на. то, что Ферма уже видел эту связь, знал, что «задачи на площади» и «задачи на касательные» являются взаимно обратными. Но он нигде не развил свое открытие сколько-нибудь подробно. Поэтому честь его по праву приписывается Барроу, Ньютону и Лейбницу, которым это открытие и позволило создать дифференциальное и интегральное исчисления.

ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ

Еслн в описанных нами работах Ферма исследовал темы, которые были в центре внимания и многих других математиков его времени (Кеплера, Кавальери, Торричелли, Блеза Паскаля, Валлиса), то в теории чисел он был первооткрывателем. Никто из его современников и никто из математиков, живщих после него (вплоть до Эйлера), не понимал ни значения поднятых им проблем, пи внутренней их связи.

От античности остались две большие работы, посвященные вопросам теории чисел: «Начала» Евклида (П1 век до н. э.) и «Арифметика» Диофанта (по-видимому, середина HI века н. э.). В первой из них были обоснованы элементы арифметики целых чисел: доказан закон однозначности разложения целого числа в произведение простых множителей. Там же формулировалась теорема о том, что существует бесконечно много простых чисел.

«Арифметика» Диофанта до сих пор представляется одним из загадочных явлений в истории науки. По своему стилю она резко отличается от классических произведений Евклида, Архимеда и Аполлония. В ней не было и следа «геометрической алгебры», зато вводилась алгебраическая символика, а именно обозна«1ения для неизвестного и первых его шести положительных и отрицательных степеней; кроме того, там были введены отрицательные числа и отличительный знак для них, отвечающий нашему минусу. При решении задач под «числом» понималось не натуральное число, как это было до него, а любое рациональное. Из 13 книг, составлявших «Арифметику», до нас дошло шесть*). Все они посвящены ре-

*) Недавно были найдены еще четыре кпиги в переводе ча арабский, которые приписывается Диофанту.

шению неопределенных уравнений в рациональных доложительных числах. В этих книгах нет теорем теории чисел в собственном смысле слова, однако, при решении задач иногда приходилось накладывать ограничения на те или иные целые числа, входящие в условие, задачи. По существу, каждое такое «ограничение» представляло теорему теории чисел.

Долгое время эта замечательная книга не Ъыла известна в Европе. Но в XVI веке рукопись ее нашли в библиотеке Ватикана и в конце того же века был издан ее латинский перевод (со множеством «темных мест», так как переводчик не был знаком с математикой). В 1621 году вышел новый перевод Баше Де-Ме-зириака, в котором приводился параллельный греческий текст и комрЛентарии Баше. Эта книга и сделалась настольной для Ферма. Многие замечательные теоремы он почерпнул из нее, на другие его наводили размышления по поводу некоторых задач и он записывал свои мысли и открытия на полях этой книги. Впоследствии все эти замечания были изданы*). Они составляют значительную часть его наследия по теории чисел. Другие его результаты в этой области сформулированы в письмах. Обычно он ставил их в виде проблем перед другими математиками.

Сам Ферма писал: «Арифметика имеет свою собственную область, теорию целых чисел; эта теория была лишь слегка затронута Евклидом и не была достаточно разработана его последователями (если только она не содержалась в тех книгах Диофанта, которых нас лишило разрушительное действие времени); математики, следовательно, должны ее развить или возобновить».

Несмотря на отсутствие доказательств (из них дошло только одно),трудно переоценить значение творчества Ферма в области теории чисел. Ему одному удалось выделить из хаоса задач и частных вопросов, сразу же возникающих перед исследователем при изучении свойств целых чисел, основные проблемы, которые стали центральными для всей классической теории чисел. Ему же принадлежит открытие мощного общего метода для доказательства теорети-

*) Теперь онп имеются в переводе на русский язык в комментариях к «Ар1!фметике» Диофанта.

ко-числовых предложений-так называемого метода неопределенного или бесконечного спуска (о котором мы скажем ниже). Поэтому Ферма по праву может считаться основоположником теории чисел.

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ КВАДРАТИЧНЫМИ ФОРМАМИ

Ферма поставил вопрос об определении вида целых чисел, которые представляются суммой двух квадратов, т. е. формой

х-Л-у, (1)

где X, у - целые. К этому вопросу его привела одна из задач Диофанта. В ней были сформулированы условия, которым должно удовлетворять число Л, чтобы оно представлялось формой (1).

Однако переписчики, не понимая смысла этих условий, неправильно их воспроизводили. Ко времени Ферма текст был безнадежно испорчен и чтобы его восстановить, ему пришлось решать задачу заново.

Заметим, что если мы будем рассматривать все целые числа подряд, то очень трудно уловить закон, который позволил бы нам судить о том, представп-мы ли они формой (1). Читатель легко докажет, что числа вида 4/г+З нельзя представить в виде формы (1). С другой стороны, числа вида 4«+1 могут быть как представимыми (например, 5=12 + 2), так и непредставимыми (например, 21) в этой форме. Ферма догадался, что надо сначала исследовать, какие простые числа представимы формой (1). Для простых чисел он открыл следующий замечательный закон (который впоследствии получил имя первого дополнения к закону взаимности): все простые числа вида 4tt-f 1 (т.. е. числа 5, 13, 17, 29...) можно представить в виде суммы двух квадратов и прито.м единственным образом. Это" предложение доказать совсем непросто. Доказательство самого Ферма до нас не дошло. Никто из его современников не сумел его провести. Первое доказательство было дано только Эйлером.

Установив закон представимости для простых чисел. Ферма уже легко доказал что число Л тогда и только тогда представимо формой (1), когда в его