разложении на простые множители никакое простое число вида 4п + 3 не входит в нечетной степени. Путеводной нитью для него послужило утверждение Диофанта о том, что произведение двух чисел, пред- ставимых формой (1), также представимо, и прито.м двумя различными способами, формой (1):

(л;2 + у) («2 + у2) уу)2 + yY

= {xu + yvf + {xv-yuf. (2)

От формы (1) Ферма перешел к рассмотрению форм + 2у, х? - 2у, х + 32. Он нашел вид простых чисел, представимых каждой из этих форм. Для формы д;2 -- 2у это будут простые числа вида 8п+1 и 8«+3. Простые же числа вида 8п -- 5 и 8« + 7 такой формой не представляются. Это предложение получило название второго дополнения к закону взаимности. Оно было доказано Лагранжем (1736-1813).

Эти проблемы Ферма положили начало плодотворным исследованиям Эйлера, Лагранжа, Лежандра, а также Гаусса, который подвел итог всему-пред-шествуюшему развитию и создал в начале прошлого века стройную и прекрасную теорию квадратичных форм (т. е. форм вида ах" -\- 2Ьху -f- су).

УРАВНЕНИЕ ПЕЛЛЯ у= I +

Такое уравнение, где а - натуральное число, не являющееся точным квадратом, рассматривали еще в древности. В новое время им заинтересовался Ферма. Он уже четко различал два вопроса, связанные с ним:

1) дать регулярный способ нахождения наименьшего положительного решения этого уравнения;

2) найти рекуррентные формулы для нахождения любого решения, исходя из наименьшего.

В феврале 1657 года в письме к английским математикам, которое получило название «второго вызова математикам» («первый вызов» был отправлен в Англию в январе того же года). Ферма предложил доказать, что уравнение ах-\-1=у имеет бесконечно много решений. Он предложил дать решение при а, равном 109, 149 и 433. Эти значения он взял потому,

что наименьшее положительное решение уравнения ах1+ 1 -у1 при таких-значениях а столь велико, что его нельзя найти подбором. Нужло владеть регулярным методом его нахождения.

Математические вызовы в то время имели немалое значение для поддержания чести нации. Так, в конце «первого вызова» Ферма писал:

«Я жду решения этих вопросов; если оно не будет дано ни Англией, ни Бельгийской или Кельтской Галлией, то это будет сделано Нарбонской Галлией...».

Второй вызов повлек за собой весьма интересную переписку между Ферма и английскими математиками: лордом Броункером, сэром Дигби и Джоном Валлисом, профессором математики в Оксфорде. В ней приняли участие также де Бесси и ван Схоу-тен, профессор математики в Лейдене. По инициативе Валлиса вся переписка была издана в 1658 году (она помещена в переводе на французский язык в собрании сочинений Ферма, т. III). Уравнение Пел-ля вызвало страстные споры и резкие выпады.

Мы не можем здесь входить в подробности всех удачных и неудачных рриемов и методов, примененных к уравнению Пелля. Скажем только, что Броун-кер, по-видимому, первый пришел к мысли, что для нахождения наименьшего решения надо разложить -а в непрерывную дробь и рассмотреть подходящие дроби к ней. Впоследствии этим уравнением занялся Эйлер, jiOTopbifi утверждал, что непрерывная дробь для . где а - неквадратное натуральное число, всегда будет периодической. Полное доказательство этого и окончательный анализ уравнения Пелля принадлежит Лагранжу.

МАЛАЯ ТЕОРЕМА ФЕРМА

В письме к де-Бесси от 18 октября 1640 года Ферма высказал следующее утверждение: если число а не делится на простое число р, то существует такой показатель К, что с- - 1 делится на р, причем 7 является делителем р-1. В частности, ар- - 1 всегда делится на р. Это утверждение получило название малой теоремы Ферма. Оно является основным во всей элементарной теории чи-

сел. Эйлер дал этой теореме несколько различных доказательств. Одно из них показывает, как тесно связана эта теорема с теорией групп. Кроме того, Эйлер обобщил малую теорему на случай, когда модуль р представляет собой не простое, а любое целое, взаимно простое с а.

В поисках критерия для простоты числа Ферма от чисел вида -1 перешел к числам вида а+\. Исследуя числа 2+1, он заметил, что если = 2*, то при = 1, 2, 3, 4 выражение 2 + 1 дает простые числа. Он предположил, что то же будет иметь место и при любом k. Это опроверг Эйлер, показав, что 2 -\- 1 делится на 641.

ВЕЛИКАЯ ТЕОРЕМА ФЕРМА И «МЕТОД СПУСКА» •

В задаче 8 второй книги своей «Арифметики» Диофант поставил задачу представить данный квадрат в виде суммы двух рациональных квадратов. На полях, против этой задачи. Ферма написал: «Наоборот, невозможно разложить ни куб на два куба, ни биквадрат на два биквадрата и вообще никакую степень, большую квадрата, на две степени с тем же показателем. Я открыл этому поистине чудесное доказательство, «но эти поля для него слишком узки». Это и есть знам-енитая Великая теорема. Или в современных обозначениях, уравнение

je" + « = 2" (3)

не имеет решения в целых числах (а значит, и в рациональных) при п>2 и хугфО.

Заметим, что в своих письмах Ферма неоднократно предлагал доказать ее различным математикам, но никогда в таком общем виде, а только для « = 3 и 4.

Теорема эта имела удивительную судьбу. В прошлом веке ее исследования привели к построению наиболее тонких и прекрасных теорий, относящихся к арифметике алгебраических чисел. Без преувеличения можно сказать, что она сыграла в развитии теории чисел не меньшую роль, чем задача решения уравнений в радикалах. С той только разницей, что последняя уже решена Галуа, а Великая теорема до сих пор побуждает математиков к исследованиям.