с другой стороны, простота формулировки этой теоремы и загадочные слова о «чудесном доказательстве» ее привели к широкой популярности теоремы среди не-математиков и к образованию целой корпорации «ферматистов», у которых, по словам Дэвен-порта, «смелость значительно превосходит их математические способности». Поэтому Великая теорема стоит на первом месте по числу данных ей неверных доказательств.

Сам Ферма оставил доказательство Великой теоремы для четвертых степеней (в своих замечаниях к «Арифметике» Диофанта). В своем доказательстве он применил «метод неопределенного или бесконечного спуска», который он описывал в своем письме к Каркави (август 1659 года) следующим образом:

«Если бы существовал некоторый прямоугольный треугольник в целых числах, который имел бы площадь, равную квадрату, то существовал бы другой треугольник, меньший этого, который обладал бы тем же свойством. Если бы существовал второй, меньший первого, который имел бы то же свойство, то существовал бы в силу подобного рассуждения, третий, меньший второго, который имел бы то же свойство, и, наконец, четвертый, пятый, спускаясь до бесконечности. Но, если задано число, то не существует бесконечности по спуску меньших егсу (я все время подразумеваю целые числа). Откуда заключают, что не существует никакого прямоугольного треугольника с квадратной площадью». Именно этим методом были доказаны многие предложения теории чисел и, в частности, с его помощью Эйлер доказал Великую теорему . для п = 4 (способом, несколько отличным от способа Ферма), а спустя 20 лет и для п=3. Дело в том, что последнее доказательство он смог провести только с помощью совершенно новых идей, а именно обобщения понятия целого числа. Мы привыкли связывать это понятие только с натуральными числами, однако, оказалось, что есть и другие математические объекты, которые ведут себя как целые числа. Среди таких объектов можно выделить «простые числа» и развить арифметику, аналогичную обычной. Такие числа называются теперь целыми алгебраическими. Эйлер- рассмотрел целые алгебраические числа /п + лд/-3. В прошлом веке Куммер, зани-52

маясь Великой теоремой Ферма, построил арифметику для целых алгебраических чисел определенного вида. Это позволило ему доказать Великую теорему для некоторого класса простых показателей п. В настоящее время справедливость Великой теоремы проверена для всех показателей 5500.

Отметим также, что Великая теорема связана не только с алгебраической теорией чисел, но и с алгебраической геометрией, которая сейчас интенсивно развивается.

Приведем в заключение сводку результатов Ферма по теории чисел, приведенную им в упомянутом письме к Каркави, который после смерти Мерсенна занял его место в кружке парижских математиков:

1. Не существует прямоугольного треугольника в числах, площадь которого была бы квадратом.

2. Нет куба, который разбивался бы на два куба.

3. Уравнение = имеет единственное реще-ние в целых числах x=5, у=3.

4. Уравнение + 4 - у имеет только два рещения в целых числах л: = 2, у = 2 и х=11, г/=5.

5. Система уравнений

х = 2г/2-

=-2у-1Л

имеет только два решения в целых числах: х = у - 1= 2 = I и х = 7, у = 2, г = Ъ.

В том же письме утверждается, что каждое целое число может быть представлено суммою не более че- тырех квадратов. Это доказал Лагранж.

Приведем заключительные строки этого письма, которое получило название «завещание Ферма»:

«Быть может, потомство будет признательно мне за то, что я показал ему, что Древние не все знали, и это может проникнусь в сознание тех, которые придут после меня для передачи факела сыновьям, как говорит великий канцлер Англии, следуя чувствам которого, я добавлю: «Многие будут приходить и уходить, а наука обогащается.»

Бурбаки Н. Элементы математики: Очерки по истории математики. - М.; 1963, кн. 8.

История математики с древнейших времен до начэла XIX столетия.-М.: 1970, т. 2,

ЛЕОНАРД ЭЙЛЕР (1707-1783)

Б. Н. Д е Л О н е

За время существования Академии наук в России, видимо, самым знаменитым ее членом был математик Леонард Эйлер. В этой статье мы рассказываем о его жизни и некоторых его математических работах.

XVII век был для математики необычным веком. Декарт и Ферма создали аналитическую геометрию, а Ньютон и Лейбниц - дифференциальное и интегральное исчисления. Эти два величайших достижения математики подняли человечество на существенно новую научную ступень. Открылась возможность решать задачи, совершенно не доступные прежним эпохам. Методы, развитые в интегральном и дифференциальном исчислениях, позволили решать задачу о касательной, о максимумах и минимумах исследуемой переменной величины, о кривизне линии в разных ее точках, а после того как Ньютону и Лейбницу удалось доказать знаменитую теорему анализа, связывающую дифференциальное и интегральное исчисления, оказалось возможным вычислять площади, объемы, находить центры тяжести таких фигур, для

которых до того нельзя было и мечтать это сделать. После всех этих достижений наиболее глубокие дальнейшие результаты в области анализа принадлежат Якову Бер нулли, его младшему брату Иоганну и сыновьям Иогана - Николаю и Даниилу Бернулли, швейцарцам из небольшого города Базеля на Рейне.

Но первым, кто в своих работах стал возводить последовательное здание анализа бесконечно ма-