Кроме математики, Эйлер занимался также многими другими, в том числе и совсем прикладными вопросами- оснасткой корабля, картографией, механикой, астрономией, физикой, диоптрикой. Но все же главные достижения Эйлера относятся к математике.

Полное собрание сочинений Эйлера рассчитано на 72 тома (вышло уже 62 больших тома). 30 из них посвящено математике, 31 содержит его работы по механике и астрономии. 11 будут содержать работы по физике и другим предметам. В процентном отношении работы по математике распределяются (по объемам, а это дает лучщую характеристику, чем по числу работ, так как работы чрезвычайно отличаются по размерам) так: анализ - 60%, геометрия - 17%, теория чисел -13%, алгебра-7%, теория вероятностей-3%.

Внутри анализа особенно большое место занима-. ют работы по интегральному исчислению - 33%; дифференциальным уравнениям посвящено 25%, рядам- 22% и вариационному исчислению-11%. В остальные 9% входят том «Дифференциальные исчисления» и первый том «Введения в анализ бесконечно малых». В целом эта статистика довольно верна.

Перейдем теперь к разбору некоторых математических работ Эйлера.

РАБОТЫ ЭЙЛЕРА ПО ТЕОРИИ ЧИСЕЛ

После работ древнегреческого математика Диофанта уже в новое время (в 1600-е годы) французский математик, советник суда в Тулузе, Пьер Ферма рассмотрел ряд глубоких задач элементарной теории чисел и сообщил полученные им результаты, но по обычаю того времени скрыл их доказательства. Эйлер нашел доказательства всех теорем Ферма, показал неверность одной нз них, а знаменитую Великую теорему Ферма, не доказанную и не опровергнутую до сих пор, о целых решениях уравнения х" + у" = z", доказал для п = 3 и п = 4.

Эйлер начал последовательно строить элементарную теорию чисел. Он начал с теории степенных вычетов. Эта теория исследует остатки- (вычеты), которые получаются, если делить степени фиксированного

натурального числа а на простое число р (модуль), не являющееся делителем а. Оказывается, вычет av- всегда равен единице. (Это так называемая малая теорема Ферма. Эйлер дал и ее доказательство.) Но с™ при делении на р может дать остаток, равный единице, и при т, меньшем р-\. Тогда т есть делитель р- 1 и вычеты степеней а до р - 1-й повторяются периодически. Особенно важны те значения а, для которых п.ри делении на р остаток равен 1 только при показателе, равном р-1,а не при меньших. Их Эйлер назвал первообразными корнями р. Для таких значений а степени а, а, а, ..., а"- дают все р - 1 различных ненулевых возможных остатков по модулю р. Если два числа b и с имеют такие же вычеты, как и аУ, то р и .у называются индексами чисел b и с. При умножении 6 на с индексы складываются (т. е. получается аналогия с теорией логарифмов).

Далее Эйлер занялся квадратичными вычетами. Назовем а квадратичным вычетом простого числа р, если вычет а такой же, как у некоторого квадрата. Все вычеты разбиваются на две совокупности: квадратичные вычеты и квадратичные невычеты р (при р > 2 их равное число, нулевой вычет не рассматривается) .

Если а - произведение нескольких сомножителей, то квадратичная вычетность или невычетность а по модулю р зависит от того, какое число его сомножителей невычеты. Если это число нечетно, то. с - невычет, если четно - вычет. Самый трудный вопрос, связанный с квадратичными вычетами,- найти при фиксированном а вид тех простых чисел р, для которых а является квадратичным вычетом. Эйлер заметил, что это те р, которые находятся в некоторых определенных арифметических прогрессиях, зависящих от а. Это так называемый квадратичный закон взаимности.

Эйлер также много лет занимался решением неопределенных уравнений второй степени с двумя неизвестными. Еще Ферма в 1651 году предложил всем математикам, мира показать, что при целом положительном А, не являющемся квадратом, неопределенное уравнение - Ау - \ (его теперь называют уравнением Пелля) имеет бесконечно много решений {х, у) в целых числах. Эйлер исследовал об-

щее неопределенное уравнение ах -{- bxy-f су -р dx еу + f = О, где а, Ь, с, d, е и f - целые числа и X ц у также ищутся целые.

Такие же уравнения первой степени ах-{- by + с = О были рещены еще в древности: если с делится на наибольщий общий делитель а и Ь, то такое уравнение всегда имеет бесконечно много рещений.

Эйлер понял, что для уравнения второй степени задача, поставленная Ферма, сводится к доказательству того, что квадратный корень из натурального числа А (если А не квадрат) всегда разлагается в периодическую непрерывную дробь

Очень большую роль в упорядочивании элементар- ной теории чисел сыграла и введенная Эйлером функция ф(п), равная числу чисел, меньщих п и взаимно простых с п.

Во всех этих трех фундаментальных вопросах (которые больше двух столетий после Эйлера и сое-тавляли основной объем элементарной теории чисел)- степенные вычеты, закон взаимности, решение неопределенного уравнения второй степени - Эйлер ушел очень далеко, однако во всех трех его постигла неудача: существование первообразного корня для всякого р доказал Гаусс, и как доказал! Закон взаимности тоже доказал Гаусс, причем дал шесть разных, но, правда, весьма трудных доказательств. Периодичность разложения А доказал Лагранж в 1768 году, и тем самым, как это ранее показал уже Эйлер, решил общее уравнение второй степени и, в частности, уравнение Пелля. Эта работа Лагранжа, несомненно, является бриллиантом в короне славы Лагранжа как математика. Она имела в дальнейшем целый ряд замечательных обобщений, над которыми работают еще и сейчас.

В переписке Эйлера с его другом академиком Петербургской Академии наук Гольдбахом находятся две знаменитые «задачи Гольдбаха»: доказать, что всякое нечетное натуральное число есть сумма трех простых чисел, а всякое четное - двух. Первое из этих утверждений было при помощи весьма замеча-