тельного метода доказано уже в наше время (1937 год) академиком И. М. Виноградовым, а второе не доказано до сих пор.

Эйлеру принадлежит инициатива создания и второй части теории чисел - аналитической теории чисел, в которой глубочайшие тайны целых чисел, например, распределение простых чисел в ряду всех натуральных чисел, получаются из рассмотрения свойств некоторых аналитических функций.

Эйлер первый начал рассматривать функцию дзета -Дб сумма берется по всем натуральным числам п. Он доказал знаменитую формулу

Z i ~ П, 1 •

гд2 И обозначает произведение, которое берется по всем простым числам р. Из этой формулы он получил новое аналитическое доказательство бесконечности числа простых чисел, из нее же он вывел (правда, без достаточно строгого обоснования) приближенное равенство

(здесь р, как и выше,-простые числа, а п - целые). Из этого равенства возник наиболее сильный в настоящее время метод исследования закона распределения простых чисел в натуральном ряде чисел и в прогрессиях. С его помощью П. Л. Чебышев впоследствии установил, как ведет себя функция п{х)- число простых чисел р, не превышающих числа х, при X, стремящемся к бесконечности, а Адамар, используя глубочайшие соображения Рима на о поведении (s) в комплексной плоскости, доказал предельный закон:

Созданная Эйлером аналитическая теория чисел продолжает свое развитие и в наши дни. Один из самых глубоких в ней методов создан в 1934 году академиком И. М. Виноградовым.

Эйлер также интересовался вопросом арифметической природы чисел. От него идет постановка Гольдбахом вопроса о трансцендентности чисел а, где а и р - алгебраические числа*). Эта задача была решена уже в наше время (1930 год) членом-корреспондентом Академии наук СССР А. О. Гельфон-дом.

В работах Эйлера по теории чисел поражает не только глубина идей и тонкость методов, но й то, что он никогда не останавливался перед вычислительными трудностями задачи.

Большая часть работ Эйлера по теории чисел, напечатанных в разных академических изданиях, была затем собрана в издании его ученика Фусса под названием «Собрание арифметических исследований».

РАБОТЫ ЭЙЛЕРА ПО ГЕОМЕТРИИ

Всех работ Эйлера по геометрии 75, и они занимают три тома полного собрания его сочинений. Часть, из них хотя и любопытна, но не очень важна. Некоторые же просто составили эпоху. Во-первых, Эйлера надо считать одним из зачинателей исследований по геометрии в пространстве вообще. Он первый дал связное изложение аналитической геометрии в пространстве (во «Введении в анализ») и, в частности, ввел так называемые углы Эйлера, позволяющие изучать повороты тела вокруг точки.

В работе 1752 года «Доказательство некоторых замечательных свойств, которым подчинены тела, ограниченные плоскими гранями», Эйлер дал доказательство того, что у выпуклого многогранника с В вершин, Р ребер и Г граней эти числа всегда связаны соотношениями В -Р -\- Г = 2. Это в некотором смысле первая в истории математики крупная теорема топологии**) (самой глубокой части геометрии),

*) Напомним, что число а называется алгебраическим, если оно является корнем некоторого уравнения

aox"-ba,x"--b ... --а„ = 0,

где все числа Оо, а\, ... а„ - целые. Неалгебраические числа называются трансцендентными. •

**) Топология изучает свойства фигур, не меняющиеся, если фигуру можно как угодно растягивать, сжимать и изгибать, но нельзя склеивать и рвать.

которая (в несколько более общем виде) не утратила значения до сих пор.

В работе «Исследование о кривизне поверхностей» (1760 год) Эйлер рассматривает вопрос, до того ни- -кем подробно не изучавшийся. Ответ на вопрос о том, какова изогнутость линии на плоскости в данной ее точке, состоит просто в нахождении радиуса такой окружности, которая так же изогнута. Он был

решен Ньютоном. Этот радиус равен R = --„ -,

где y = f{x)-уравнение линии, а у и у" - ее первая и вторая производные в этой точке.

Для поверхности все гораздо сложнее. Метод ис- " следования этого вопроса очень характерен для Эйлера. Пусть М - точка поверхности. Он сначала находит формулу для радиуса кривизны R в точке М для кривой, получающейся сечением поверхности совсем произвольной плоскостью, проходящей через М. Формула получается сложной. Затем он рассматривает только нормальные сечения - такие, когда секущая плоскость проходит через нормаль (т. е. через перпендикуляр) в М к плоскости, касающейся поверхности в точке М. Формула становится проще. Накопец, он обнаруживает, что есть такие два взаимно перпендикулярных («главных») нормальных сечения, радиусы кривизны для которых Ri и Rz - наибольший и наименьший. При- их помощи получается уже совсем простая формула для радиуса кривизны любого нормального сечения.

Работа 1769 года «Об ортогональных траекториях» Эйлера содержит блестящие соображения о получении с помощью функции комплексной переменной из уравнений двух взаимно ортогональных семейств кривых на поверхности (т. е. таких линий, как меридианы и параллели на сфере) бесконечного числа других взаимно ортогональных семейств. Работа эта в истории математики оказалась очень важной. В следующей работе 1771 года «О телах, поверхность которых может быть развернута в плоскость» Эйлер доказывает знаменитую теорему о том, что любая поверхность, которую можно получить, лишь изгибая плоскость, но не растягивая ее и "не сжимая (как лист бумаги, который легко изгибается. V0 почти нерастяжим), если она не коническая и не