лемами. Вскоре у него появились печатные работы. К несчастью, они остались незамеченными, так как были написаны на норвежском языке, а этого языка не знал никто из выдающихся математиков того времени. Одна из работ была посвящена нахождению линии, по которой материальная точка падает по заранее предписанному закону. Абель свел решение этой задачи к уравнению, в котором искомая функция находится под знаком интеграла. Теперь такие уравнения называют интегральными.

Никто до Абеля интегральных уравнений не решал: математики того времени интересовались дифференциальными уравнениями, то есть уравнениями, содержащими производные от искомых функций. Лишь в конце XIX века стала развиваться общая •теория интегральных уравнений, и тогда поняли, что Абель на многие десятилетия предвосхитил будущие математические исследования.

Зимой 1822-1823 годов Абель написал работу, посвященную интегрированию функций.

Если продифференцировать любую элементарную функцию, то снова получится элементарная функция. А вот с интегрированием дело обстоит сложнее. Проинтегрировать какую-то функцию,- значит, найти новую функцию, производная от которой равна данной. Поиски этой функции обычно велись, как писал сам Абель, на ощупь; ученый ждал озарения, позволявшего ему вычислить тот или иной интеграл. Результаты проведенных поисков были подытожены в фундаментальном сочинении одного из величайших математиков XVIII века Леонарда Эйлера «Интегральное исчисление». Но многие интегралы все же пе поддавались вычислению. И непонятно было, в чем тут дело: в недостаточной прозорливости ученых или в том, что эти интегралы невозможно выразить через элементарные функции.

Абель подошел к вопросу с совершенно новой точки зрения. Он решил выяснить, при каких условиях интеграл от данной функции можно выразить через элементарные функции.

Его работа, по-видимому, содержала очень интересные математические идеи; дать же ей точную оценку невозможно: рукопись впоследствии бесследно исчезла, и мы можем судить о ней лишь по сухим

строчкам протоколов ученого совета и наметкам, раз-бросанным в других рукописях Абеля.

В жизни Абеля она сыграла важную роль: после девятимесячного изучения (видно, жива была еще память о неудаче Абеля с уравнениями пятой степени) профессора одобрили эту работу и решили, что Абель заслуживает материальной поддержки от государства. Кроме того, его послали провести каникулы в Копенгагене и обещали по окончании университета послать за границу для продолжения образования.

Копенгагенские каникулы (1823 года) были полны незабываемых впечатлений. Абель встречается с местными математиками и думает над Великой теоремой Ферма.

Хотя Абелю и не удалось доказать эту теорему (она не доказана и поныне!), он получил ряд интересных результатов. Например, он доказал, что если натуральные числа а, Ь, с являются рещением уравнения а" = Ь"+с" (п>2), то а,должно иметь одну из

форм у(х" + у" + 2"), (х" + у"-+n"-z"), где X, у, Z

взаимно простые числа. Эти результаты были опубликованы лишь после смерти Абеля.

Профессор Деген посоветовал Абелю заняться теорией так называемых эллиптических интегралов.

Математики уже давно разделили все функции на алгебраические и трансцендентные. Алгебраическими называют функции y=f{x), которые удовлетворяют какому-нибудь уравнению вида

Po{x)y + pЛx)У-+ ... +Pn{x) = Q, (1)

где Ро{х) рп(х) - многочлены от х. Например, функция y = J]~\ -\-X алгебраична, так как удовлетворяет уравнению {у - хУх-\, т. е. у - 2ху - л; + + 1 = 0. Вообще, любая функция, получающаяся из чисел и переменной с помощью арифметических операций и извлечений корней, алгебраична, хотя существуют алгебраические функции, которые нельзя получить таким способом. Функции" же, не удовлетворяющие никакому уравнению вида (l), называют трансцендентными. К ним относятся, в частности, изучаемые в школе показательная, логарифмическая, тригонометрические и обратные тригонометрические функции.

при дифференцировании некоторые трансцендентные функции превращаются в алгебраические, например,

(1пл:) = -, (arcsin х)=

(arctg x) = -j-q.

Действие, обратное дифференцированию, как известно, называется интегрированием. Значит, при интегрировании из некоторых алгебраических функций- получаются трансцендентные функции. Однако не для всех алгебраических функций их- интегралы выражаются через элементарные функции, изучаемые в школе. Например, при вычислении длины дуги эллипса получается интеграл вида

f dx

J /(\-x)(\ - kx) Если = О, интеграл равен arcsin х (дело в том, что случаю О отвечает эллипс с равными полуосями, т. е. окружность, а arcsin х связан с длиной дуги окружности). При других же значениях k выразить этот интеграл через элементарные функции не удается. Пршлось ввести новый класс трансцендентных функций- эллиптические интегралы. Так назвали интегралы, содержащие квадратные корни из многочленов четвертой степени. Целый ряд замечательных результатов о таких интегралах получили Эйлер, Гаусс, Ле-жандр.

Абелю удалось найти весьма общую формулу, частными случаями которой были многие ранее известные соотношения для таких интегралов. Вскоре он пришел к идее, позволившей коренным образом изменить всю тематику этого направления: вместо эллиптических интегралов изучать обратные им функции. При fe = О это соответствует переходу от изучения функции arcsin X к изучению обратной ей функции у-sin X. Новые функции получили название эллиптических. Так как (sin х) = cos х = Vl sinx, функция у = smx удовлетворяет дифференциальному

уравнению у = -yj - • Абель поставил перед собой задачу получения дифференциальных уравнений для эллиптических функций и блестяще справился с ней. Он доказал также, что эллиптические функции явля*