Android-приложение для поиска дешевых авиабилетов: play.google.com
Главная -> Краткие биографии

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 [39] 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62

ются периодическими. Оказалось, что, в отличие от тригонометрических функций, эллиптические функции имеют два периода, причем один из них - действительный, а другой - комплексный. Это потребовало углубления в только что созданную в то время теорию функций комплексной переменной.

Вернувшись из Копенгагена, Абель снова занялся алгебраическими уравнениями. Анализируя свое решение уравнения пятой степени, он понял, что ложным было не только это решение, но и сам подход к задаче. Вот что написал он об этом позже:

«Одной из интереснейших проблем алгебры является алгебраическое решение уравнений. Почти все выдающиеся математики исследовали этот вопрос. Без труда были получены общие выражения для корней уравнений первых четырех степеней. Для решения этих уравнений был открыт единый способ и надеялись, что он применим к уравнениям любой степени; но, несмотря на все усилия Лагранжа и других выдающихся математиков, поставленная цель не была до-CTHrifTa... Предполагали решать уравнения, не зная, возможно ли это решение. В случае существования решения могли его получить, ничего о нем предварительно не зная; но если, к несчастью, решение не существовало, то его могли бы тщетно искать целую вечность. Для того чтобы получить наверняка некоторые результаты по этому вопросу, надо было выбрать иную дорогу, придав проблеме такой вид, чтобы она была всегда разрешима, а это можно сделать с любой проблемой. Вместо того, чтобы искать некоторое соотношение, не зная, существует оно или нет, надо спросить, возможно ли такое соотношение... Этот метод, который, без сомнения, является единственно научным, поскольку лишь он позволяет быть заранее уверенным в достижении поставленной цели, мало применяется в математике только потому, что его применение связано с исключительными трудностями...».

Абелю удалось преодолеть эти трудности: он доказал, что общее уравнение пятой степени неразрешимо в радикалах - решения такого уравнения нельзя выразить через его коэффициенты с помощью арифметических действий и извлечения корней.

Таким образом, проблема, над которой математики бились веками, к началу 1824 года была полностью



решена. Чтобы скорее сделать полученный результат достоянием математиков, Абель отпечатал брошюру с доказательством на французском языке за свой счет; из-за отсутствия средств ему пришлось сократить изложение до шести страниц и предоставить читателю додумать детали многих рассуждений. Неудивительно, что лишь немногие математики смогли полностью разобраться в содержании этой работы. Даже Гауссе больще всех интересовавшийся теорией алгебраических уравнений, затерял брошюру Абеля среди своих бумаг. Впоследствии Абель опубликовал развернутое доказательство своей теоремы, занявшее несколько десятков страниц.

Вскоре выяснилось, что за несколько лет до Абеля аналогичный результат получил и итальянский ученый Паоло Руффини. И хотя доказательство Руффини было неполным, все же теорему о неразрешимости уравнения пятой степени в радикалах теперь называют теоремой Руффини - Абеля.

Но хотя общее уравнение пятой степени и нельзя решить в радикалах, существует целый ряд часТных случаев, в которых такое решение возможно. Например, разделить угол а на « равных частей значит выразить cos а через cos (а/п) и решить получившееся уравнение относительно cos (а/п). Так как cos а = 4cos(a/3) -3cos(a/3), то при п - 3 получаем кубическое уравнение 4х -Зх = cos а, которое, как и всякое кубическое уравнение, решается в радикалах. Оказывается, такие уравнения решаются в радикалах при любых значениях п. Аналогичные уравнения получаются и при переходе от тригонометрических функций к эллиптическим. Абелю удалось написать эти уравнения, выразив эллиптические функции аргумента х через функции аргумента х/п.

Абель знал, что вопрос о разрешимости уравнения в радикалах связан с соотношениями между корнями уравнения. Например, все корни уравнения

л;"- -f а;"-2 + ... + ;t + 1 = о, (2)

возникающего при деление круга на п частей (поэтому уравнение (2) называется уравнением деления круга), можно выразить через один из них следующим образом:

Х2= Х, Х=Х, Х = Х



функции у - X, у = х", у = х"~ рациональны. При этом они обладают следующим замечательным свойством: если взять любые две такие функции, заменить в однй из них л: другой функцией и вместо х подставить xl, то полученное число снова будет одним из корней уравнения. В самом деле, из уравнения (2) следует, что х1=1, а потому [xfY - x = x1, где

т - остаток от деления kt на п.

Абель понял, что именно с этим свойством связана разрешимость в радикалах уравнения деления круга. Поэтому он рассмотрел такие уравнения, что:

а) все корни каждого из них могут быть представлены в виде рациональных функций от одного из корней, например, от xii

Xi = Qi(xi), a:2 = e2(A:i), дг„ = е„(д;1);

б) функции 01 (л:), e„(jc) таковы, что для лю* бых ft и / найдется такое т, что

Оказалось, что для разрешимости уравнения в радикалах достаточно выполнения еще одного условия! для любых k и / QklBi(xt)]=Bi[6k(xi)]. Иными словами, нужно, чтобы не имело значения, подставим ли мы Gft{xi) в Qi(x) или G/(a:i) в Qk{x). С тех пор совокупности преобразований, результат последовательного выполнения которых не зависит от порядка выполняемых преобразований, называют абелевыми (или коммутативными).

При изучении эллиптических функций и интегралов Абель широко использовал теорию степенных рядов, (Степенным рядом называется выражение вида

Х ах" = Со + aix + ах" + ... -f а„л:" -f ...) Он до*

казал, что множество значений х, для которых схо-» дится ряд *)

ao + aiX-{- ... -f а„л;"-Ь

является или промежутком вида ]-/, [[ (где / может также равняться нулю или бесконечности), или таким

*) Это значит, что существует

... +апх%

lim (ао + aiX+ ... + a„x").



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 [39] 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62



0.0059
Яндекс.Метрика