математиком Виетом зависимости

Х1 + Х2+ ... -{-Xn = - ai,

1>С2 + 13+ ••• +Х,г-1Хп = а2, (3)

Х1Х2 ... Хп{-1Та,г,

и те соотношения, которые можно вывести из них с помощью арифметических операций. А корни уравнения (1) имеют вид*)

2nk ... 2лк >c, = cos-f isin.

k-l, 2, .... n, и из формулы Муавра видно, что

т. е. 2 3 4 • • •

На соотношениях видад; = дс и вытекающих из них следствиях и построено все доказательство Гаусса. Но отдельные следствия из этих соотношений отличаются от последних лишь номерами корней. Например, при п=4 из соотношений = >cf вытекают и такие:

-2 2* \ "l "З 2*

Чтобы получить их из соотношений х = xf, достаточно поменять номера корней по такому закону:

/ 1 2 3 4 4

(2413)- (4)

Эта запись означает, что xi переходит в Х2 (т. е. х\, заменяется на Хг), Хг - в Х4 и т. д. Далее, корни можно переставить еще раз. При этом Xi сначала переходит в Хг, а потом хг - в Х4. Окончательно ху переходит в Х4. Если проследить за всеми корнями, то окажется, что при повторном применении перестановки

*) В самом деле, это уравнение можно записать в виде л:"+ - 1

- у- = 0. А по формуле Муавра

(2}ik 2nk \"+

cos / sin J - 1 = cos 2nk / sin 2кк -1=0.

(4) получается перевтановка

V 4 3 2 1

Так получаются четыре различные перестановки корней, в том числе и тождественная перестановка

/12 3 44 U 2 3 4 >/

при которой все корни остаются на месте. Эти перестановки, и только они, переводят соотношения x= =xf в другие соотношения, выполняющиеся для корней уравнения (1) при п=4. И любопытно вот что. Если сделать сначала одну такую перестановку, а потом другую, то в результате получится перестановка, которая тоже переводит верные соотношения в верные.

Операция, заключающаяся в таком последовательном выполнении перестановок, обладает множеством свойств, напоминающих свойства произведения чисел. Поэтому мы будем называть эту операцию умножением перестановок.

А нет ли подобных перестановок и для других уравнений? Ведь и -для них можно составлять соотношения между корнями и смотреть, при каких перестановках верные соотношения будут переходить в верные. Конечно, самые лучшие - это те уравнения, корни которых - рациональные числа. Такие уравнения решаются без извлечения корней. Для таких уравнений есть очень простые соотношения между корнями Xi = bi, Xn~bn, и единственной «перестановкой», сохраняющей эти соотношения, является тождественная перестановка. Значит, уравнение тем проще, чем меньше совокупность перестановок, сохраняющих соотношения между корнями! Следует как-то назвать такие совокупности перестановок. Эти перестановки собираются вместе, группируются. Ие назвать ли их совокупность группой?

Вряд ли, применив это название, Эварист думал, что он вводит в математику новое понятие, которому суждена долгая и славная жизнь, что число работ, посвященных группам, будет исчисляться многими тысячами, что методы теории групп откроют тайны кристаллических решеток, атома и многое другое. Он

хотел лишь посмотреть, что происходит с группами перестановок корней в процессе решения уравнений.

Конечно, Галуа не был первым, кто имел дело с группами перестановок корней. Ими занимались уже и Лагранж, и Гаусс. Сам Галуа понимал, что идеи, высказанные им, в неявной форме содержались в работах его предшественников.

Но велика заслуга того, кто разъяснил такие идеи, сформулировал существенные свойства понятий, применил их к решению новых и трудных задач. Это и сделал Галуа для понятия группы - лишь после его работ оно стало предметом изучения математиков.

Однако вернемся к ходу рассуждений Галуа. Теперь надо внимательнее посмотреть, какие соотношения могут быть между корнями уравнения. Это зависит от того, какие коэффициенты считать допустимыми в таких соотношениях. Возьмем уравнение

х-{-х + х + х-{-1=0.

Если в соотношении допустимы лишь рациональные коэффициенты, то для его корней есть только соотношения Виета, соотношения вида X; = xf и те, которые из них получаются с помощью рациональных операций. Ио еспи допустить коэффициенты более сложного вида, то появятся и новые соотношения.

Чем шире множество коэффициентов, тем больше соотношений между корнями. А тогда перестановки, сохранявшие верными все старые соотношения, могут уже оказаться непригодными: они могут нарушать новые соотношения. Значит, с расширением множества коэффициентов группа уравнения уменьшается. Но ведь если уравнение решено, то его группа превращается в единичную, т. е. в группу из одной тождественной перестановки. Так вот в чем тайна решения уравнений! Надо расширять множество коэффициентов и следить за тем, как меняется при этом группа уравнения (через много десятилетий все математики будут называть ее группой Галуа). Как только группа превратится в тождественную, уравнение решено. А расширять множество коэффициентов надо, присоединяя к нему корни каких-то вспомогательных уравнений. Теперь ясно, какие вспомогательные уравнения хороши,- только те, присоединение