тическое развитие идей, заложенных им еще в первой своей работе, привело к результатам важнейшего значения. Основные работы Вейерштрасса были посвящены теории эллиптических интегралов, которую создали и развивали Абель, Якоби и другие математики предшествовавшего поколения. Еще Абель заметил, что некоторые из эллиптических функций можно записать в виде отношения двух степенных рядов, суммы которых существуют при любом значении аргумента, т. е. в виде

ao.+ ai{x - Xo)+ ... -f а» (х - Хр)"-f ...

bo + bi{x-Xo)+ ... +bn{x- Хо)" -f ... •

Дальнейшее развитие этой идеи потребовало систематического и глубокого изучения степенных рядов и функций, выражаемых такими рядами.

Со степенными рядами математики встретились в XVIII веке. Оказалось, что в их теории есть тайны, связанные с бесконечностью числа слагаемых, а неосторожное обращение с суммами бесконечных рядов ведет к недоразумениям, ошибкам, парадоксальным результатам. Только после работ Коши и Абеля бесконечные степенные ряды стали надежным орудием в руках математиков.

Вейерштрасс изучал свойства эллиптических и еще более общих функций с помощью степенных рядов. При этом он исследовал свойства таких рядов не только при действительных, но и при комплексных значениях аргумента. В результате этих исследований возникла одна из замечательных глав математики - теория функций комплексного переменного, находящая сейчас важные приложения в самых разных областях человеческой деятельности: аэро- и гидродинамике, теории упругости, картографии и т. д. Подход Вейерштрасса к теории аналитических функций характеризовался строгой логичностью. Вейерштрасс считал, что сущность математического познания - в абсолютной полноте его обоснования. Гениальные работы Римана, иногда заменявшего строгую логику ссылкой на наглядность, были глубоко чужды Вейер-штрассу. В то же время он хорошо понимал практическое значение математических исследований и верил, что его исследования по эллиптическим функциям сыграют свою роль в приложениях математики.

6* 163

Лекции Вейерштрасса по теории аналитических и эллиптических функций привлекали толпы слушателей. Ведь только на этих лекциях можно было познакомится с его идеями - великий математик обладал странным отвращением к типографской краске и не позволял не только печатать, но даже литографировать свои лекции - их можно было лишь переписывать от руки.

Софья Васильевна решила стать студенткой Берлинского университета. Но порядки в столице Пруссии были куда реакционнее, чем в сравнительно либеральном Гейдельберге - женщин не допускали на лекции даже в качестве вольнослушательниц. Поэтому Софье Васильевне пришлось решиться на крайний шаг - обратиться прямо к Вейерштрассу с просьбой давать ей частные уроки математики.

Когда Ковалевская пришла домой к Вейерштрассу, то, чтобы проверить, насколько она готова к занятиям математикой, Вейерштрасс дал ей несколько трудных задач и попросил подумать на досуге над ними. Вероятно, в глубине души он считал, что больше никогда не увидит молодую русскую, обратившуюся к нему со столь странной просьбой. Но как велико было его изумление, когда ровно через неделю она принесла ему решения всех задач. Еще более поразился Вейерштрасс безукоризненно логичному и точному обоснованию всех решений. Как и он сам, Софья Васильевна на первое место ставила логику. На этот раз знаменитый математик внимательнее посмотрел на свою посетительницу. Он увидел одухотворенное лицо, на котором живо отражалось радостное сознание преодоленных трудностей, темно-каштановые коротко остриженные волосы, большие серо-зеленые глаза, в которых читались незаурядные ум и воля.

Получив положительный отзыв о Софье Васильевне от Кенигсбергера, Вейерштрасс дал согласие заниматься с нею. Так как ей не разрешали посещать Берлинский университет, занятия пришлось проводить дома и продолжались они четыре года.

Сохранились письма Вейерштрасса к своей ученице, которые рассказывают, как шли эти занятия, как раскрывались перед юной ученицей широкие горизонты новой теории функций и ее приложений, как

появились задачи для самостоятельных размышлений, и как шаг за шагом она преодолевала возникавшие трудности.

Три проблемы поставил Вейерштрасс перед Софьей Васильевной. Первая из них касалась решения уравнений в частных производных. Еще Ньютон заметил, что степенные ряды - могучее орудие для решения дифференциальных уравнений. Но во времена Ньютона не задумывались над вопросами: имеет ли всякий степенной ряд сумму, является ли эта сумма на самом деле решением заданного уравнения. Новый подход Коши и Вейерштрасса открывал пути к построению строгой теории, давал уверенность в том, что данное уравнение решается с помощью степенных рядов. С. В. Ковалевской удалось доказать самую общую теорему. Она доказала, что решение систем уравнений очень общего вида аналитично, т. е. выражается через степенные ряды. Исследуя решение одного из важнейших уравнений, описывающего распространение тепла в стержне, Софья Васильевна обнаружила свойства этого решения, оказавшиеся неожиданными даже для Вейерштрасса.

Вторая проблема была тесно связана с эллиптическими интегралами, третья касалась теории колец Сатурна. В последней работе Софья Васильевна уточнила исследования знаменитого французского математика и механика Лапласа.

Все эти проблемы были успешно решены, и в 1874 году по представлению Вейерштрасса Геттин-генский университет за работы: «К теории уравнений в частных производных», «О приведении одного класса абелевых интегралов третьего ранга к интегралам эллиптическим» и «Дополнения и замечания к исследованию Лапласа о форме кольца Сатурна» присудил заочно (без защиты) Софье Васильевне Ковалевской степень доктора философии с высшей похвалой. Такой чести удостаивались немногие.

НА РОДИНЕ

В июле 1874 года С. В. Ковалевская вернулась в Россию. В то же время на родину приехала и ее сестра Анна вместе со своим мужем Шарлем Виктором Жакларом, который был деятельным членом I Интернационала.